Tu dis Quoi? la Dualité?

[sandrine_guillerme]

Bonsoir chers amis,

tout comme la plupart entre vous, j'ai un gros problème concernant la dualité, j'ouvre donc ce débat voir si vous pourrez me corriger ce que je sais ou enrichir ce que je sais .. J'ai fais beaucoup de recherche sur internet, j'ai demandé à tous les prof que je connais, et voici donc tout ce que je sais sur la dualité, je vous en fais part, et n'oubliez pas de m'indiquez les erreurs qui y sont glissées,

Allons y :


Soit une bilineaire non degeneree, il existe un isomorphisme entre E et son dual E*, et toute base de E admet une base duale dans E*. Inversement, toute base de E* est la base duale d'une unique base de E
c'est pour ça qu'on parle de "dualite": Dualite=correspondance
ca nous induit ensuite une correspondance entre les sous-espaces de dim.k de E et les sous-espaces de dim n-k de E* (n=dim E)
en fait, la notion de base duale que nous connaissons n'est qu'un cas particulier de ce cadre general:
si b:E x E*--->F (F=corps de base) est l'application F-bilineaire (x, f)-->f(x )
alors cette forme est non degeneree, et donc nous avons une notion de base duale par rapport a b, qui correspond a celle que nous connaissons

QUOI? mais que ce qu'elle raconte ..

Je ferais mieux de redonner la def.d'une base duale. Les forme bilineaires, elles partent de ExE
prenons une forme bilineaire symétrique (?)

et considerons l'application:
,

ou
,


dire que b est non degeneree, par definition, c'est dire que



(il n'y a pas de vecteur x non nul qui soit orthogonal a tout E)
mais puisque E est de dim finie, et que dim E*=dim E
cela entraine que b* est un isomorphisme
donc il envoie une base de E sur une base de E*
ils ont surtout meme dimension, donc injective equivaut a bijective

J'espère que jusqu'ici tout va bien .. sinon je renvois pour une deuxième lecture



comment definit on une base duale maintenant...?

Fixons une base de E dans cette situation, une base duale de , elle va être une autre base de E avec de bonnes propriétés...

donc , nous prenons une base de et dans , on a des formes coordonnées



c'est une forme lineaire

puisque est bijective, il existe un unique vecteur de E telle que

par definition, b* envoie sur qui est une base de
donc est une base de E* , appelée base duale de par rapport à b.
elle est definie par:
si i=j
0 si i different de j


Que veux tu dire par "envoie" stp ?



maintenant appliquons à cette galite
par def.,
si i=j
0 sinon (i-eme forme coordonnee)

et comme une application lineaire est definie sur une base... on a vraiment une formulation equivalente

Conclusion: si on a une forme bilineaire non degenerée, a toute base de E, on peut associer une autre base de E, appelée base duale

Bon C'est joli tout ça .. mais Sandrine tu peux au moins nous dire à quoi ça sert tout ça ?

ok, juste une bête application.

donc fixons
on a :
verifiant (symbole de Kronecker)



Comment fait on pour trouver les coordonnees de x dans la base e_1,...,e_n ?
et bien la reponse est x= b(e'_1,x) e_1+...+b(e'n,x) e_n

Je vous laisse le soin de le démontrer !


Pff arrête Sandrine on pouvait le trouver plus rapidement sans passer par le dual


oui, oui, en inversant des matrices
mais rappelez vous souvent ce que nous faisons c'est qu'on definis une base en imposant des proprietes sur sa base duale, ou alors la base duale est facile a trouve
et puis je te rappelle qu'un ev n'est pas forcement defini en specifiant une base

voila pour la dualité.

[serge75]

Sandrine, j'avoue que j'ai pas tout lu (euphémisme) ce que tu as écrit, mais je vais essayer de te décrire ce que j'y comprends, en dehors de tout principe de démonstration (c'est un chapitre où je trouve que la recherche de démonstration efficace nuit parfois à la compréhension).

Soit E un ev. On appelle E* l'ensemble des formes linéaires sur E.
Si E est de dimension finie, E et E* sont de même dimension (premier résultat dual.... par contre, on perd cette propriété en dimension infinie et E* devient 'plus grand' que E, ce qui permet entre autre de définir les distributions, j'y reviendrai)
On définit le produit de dualité entre E et son dual par : si f est dans E* et x dans E alors =f(x). Si l'espace est réel, ce produit a toutes les propriétés de bilinéarité d'un produit scalaire. On définit ainsi une orthogonalité par f est orthogonal à x ssi f(x)=0. Cette orthogonalité vérifie en dimension finie toutes les propriétés connues de dimensions.

Premier exercice d'application et de compréhension.
On connait tous (enfin presque) la formule des trois niveaux qui sert dans la méthode de simpson : si P est un polynôme de degré au plus 2, alors
Cette formule n'est pas un accident et on peut trouver à la pelle des formules de ce type :
soit a0,...,an n réels 2 à 2 distincts.
Montrer que les (n+1) formes linéaires f_i définies sur Rn[X] par fi(P)=P(a_i) sont libres.
En regardant l'intégrale entre a et b comme forme linéaire, montrer qu'ils existe n+1 sclalaire L0,...Ln tels que pour tout P de degré au plus n on ait :

Pour n=2 et , déterminer L0,L1,L2 et retrouver ainsi la formule des trois niveaux.

[serge75]

Suite.....
Toujours en dimension finie, la base duale.
Soit B=(e1,...,en) une base de E. Pour x dans E, j'appelle f1(x)...fn(x) ses coordonnées dans B : .
Alors les f_i sont clairement des formes linéaires (on le sait depuis qu'on sait manipuler les coordonnées, même si on n'en sait pas le nom), visiblement linéairement indépendantes : si , alors en a en 'testant' cette égalité fonctionnelle en x=e_i : . Bref, on obtient une base vérifiant .
Cette base (f1...fn) de E* s'appelle la base duale.
A ce stade là, une remarque : il peut être intéressant pour les exos de caractériser la base duale par cette relation , mais du point de vue compréhension, il faut absolument la voir comme la base des applications coordonnées.
On montre aussi que toute base de E* est la base duale d'une unique base de E, appelée sa base antéduale.
Ainsi, si B est une base donnée par sa matrice de passage de B0 (base de référence) à B, notée P, la formule X=PX' nous permettra de trouver l'espression dans B0 de f_i(x) où f_i est la duale de B.
Un petit exo : donner la base duale de la base des polynômes de Lagrange dans Rn[X] définis par

[serge75]

En Euclidien :
E et E* sont isomorphes en dimension finie, et la donnée d'une base permet via la base duale de définir un explicitement un isomorphisme entre E et E* (pour E de dimension finie). Néanmoins cet isomorphisme (à x j'associe la forme linéaire ayant même coordonnée dans la base duale) n'est pas canonique car dépendant du choix d'une base.
En Euclidien, j'associe à x la forme linéaire Fx=(x|.) qui à t dans E associe Fx(t)=(x|t). L'application F qui à x associe Fx est alors un isomorphisme canonique entre l'espace Euclidien E et son dual E*.
Remarque : on ne montre en fait que l'injectivité, et on récupère la surjectivité par dimension. AInsi dans le cas d'un espace préhilbertien, F est une injection, et donc le dual est plus gros que E en général>>> voir la théorie des distribution qui permet d'augmenter l'espace des fonctions.
Application à cet isomorphisme : la définition intrinsèque du gradient, la définition du produit vectoriel, la définition de l'adjoint d'un endo.
NB : il n'y a rien de mystérieux à cette identification qui consiste concrètement à associer au vecteur a de coordonnées (a1....an) dans une bon la forme linéaire définie par où les x_i sont les coordonnées de x dans cette même bon.
Ce sera tout pour aujourd'hui ! lol

[sandrine_guillerme]

Bonjour serge..

ça fait du bien de se connecter et trouver toute cette explication... (c'est déja imprimé .. )

Je vais essayer de revoir à gauche et à droite voir si je trouve quelquechose d'autre ...

Merci .

[serge75]

Pour sandrine : j'ai modifié les deux fautes de tex que j'avais faites qui rendaient deux formules incompréhensibles.
Un petit appendice aux considérations euclidiennes :
Si a est un vecteur et Fa la forme linéaire qui s'en déduite canoniquement par Fa(x)=(x|a).
Alors les crochets de dualité s'identifient au produit scalaire ce qui concrètement signifie que =(a|x)... Ceci explique au passage pourquoi les relations d'orthogonalité entre un espace et son dual marchent aussi bien.
Ton cours se place visiblement dans un cadre plus général que les euclidiens, dans un espace E muni d'une fbs non dégénérée... Je ne suis pas trés au jus de ce qu'il s'y passe, mais j'imagine que cé assez voisin... essaie déjà de bien comprendre le cas euclidien... le cas plus général s'en déduira sans doute assez bien.
Serge

[sandrine_guillerme]

Pour Serge : Merci Infiniement :we:

Pour Serge : Qu'entends tu par la généralisation? dans tout ce que j'ai lu (on ne parle que des espaces euclidiens)

Pour Serge : Bonne Nuit.. !

[serge75]

Sandrine, quand je parlais de généralisation, c'était lorsqu'on parlait d'un espace de dimension finie muni d'une fbs non dégénérée (qui remplace donc ton ps) car je crois (je ne l'ai lu qu'en diagonale) que c'est le cadre dans lequel tu plaçais ton premier post.
Serge

[sandrine_guillerme]

Sandrine, quand je parlais de généralisation, c'était lorsqu'on parlait d'un espace de dimension finie muni d'une fbs non dégénérée (qui remplace donc ton ps) car je crois (je ne l'ai lu qu'en diagonale) que c'est le cadre dans lequel tu plaçais ton premier post.
Serge

Oui Absoluement, je vais donc essayé de partir de ce point là ..

[sandrine_guillerme]

Merci pour toutes ses explications, ça permet de mettre les choses au clair sur un sujet pas si facile.

Je t'en prie ce fut un grand plaisir ..

Ca permet même d'apprendre des nouvelles choses (bilinéaire dégénérée).

Vous en faites pas du bilinéaire ??? :doh: (on en fait 60h ce semestre que du bi.. et c'est vraiment super intéréssant..

juste pour dire que c'est E* et pas E (Si si j'ai tout lu).

Oui en effet, je vais la corriger..

Sinon pour le premier post ça fait très présentation Méthod'X :we: mais il manque les petites blagues de l'auteur (Avis aux amateurs).

Disons que j'adore leurs méthode de présentation du cours, genre tu l'explique à ton pote quoi .. il faut un peu vulgariser les maths, c'est mon avis et d'ailleurs c'est ce qui explique pourquoi je participe au scientibus et l'école en fac ...

sinon j'ai pas vraiment eu le temps de lire l'intérprétation de la dualité chez les méthod'X .. mais j'ai lu le début qui dit que c'est lh'orreur pour les étudiants, et qu'il faut comprendre le minimum d'après le proverbe : AU royaume des aveugles, les bornes sont des rois :ptdr:

[sandrine_guillerme]

C'est clair, que je le considère comme l'un des meilleurs bouquins ..

Alors les CCP ... ça c'est bien passé j'espère?

Tu t'es bien amusé J'espère?

(j'y vais, je reviens tard le soir)

:happy2:

[buzard]

Bonsoir,

Alors ça parle sec de dualité, je vais moi aussi rajouter mon grain. Enfin il s'agit surtout d'une approche pragmatique pour mettre sur cette notion de dualité des concepts plus faciles à saisir.

Idée Principale : dualité = faisceaux de contraintes

Soit un système linéaire :


la dualité exprime cette correspondance entre la solution (l'espace des variables) et ce système d'équation (l'espace des contraintes).

Exemple : droite vectorielle de l'espace

ou de manière équivalente



Cela veut dire qu'en parlant d'un problème linéaire, il revient exactement au même de considérer l'espace des variables ou celui des contraintes.

Cette dualité variable/contrainte est beaucoup exploité en programmation linéaire, afin de résoudre le problème soit dans l'espace lui-même soit dans l'espace dual, suivant lequel est le plus simple.

[quinto]

Salut,
dès le départ il y'a des choses qui me choquent dans ce message.

1- Tout espace vectoriel E n'est pas isomorphe à son dual E* (en fait ici, je parle de dual topologique)

2- Tout espace vectoriel E n'est pas le dual d'un autre non plus.

C'est vrai en dimension finie par exemple, ou si on a à faire à un espace de Hilbert, auquel cas c'est trivial.

Exemples:
1-L^p p>=1 différent de 2
2-L^1

[sandrine_guillerme]

Bonsoir,

Alors ça parle sec de dualité, je vais moi aussi rajouter mon grain. Enfin il s'agit surtout d'une approche pragmatique pour mettre sur cette notion de dualité des concepts plus faciles à saisir.

Idée Principale : dualité = faisceaux de contraintes

Soit un système linéaire :


la dualité exprime cette correspondance entre la solution (l'espace des variables) et ce système d'équation (l'espace des contraintes).

Exemple : droite vectorielle de l'espace

ou de manière équivalente



Cela veut dire qu'en parlant d'un problème linéaire, il revient exactement au même de considérer l'espace des variables ou celui des contraintes.

Cette dualité variable/contrainte est beaucoup exploité en programmation linéaire, afin de résoudre le problème soit dans l'espace lui-même soit dans l'espace dual, suivant lequel est le plus simple.

Merci buzard,

surtout pour la concrétisation, mon prof m'en avait parlait très vite fais, que ça peut être utilisé en PL, Merci :++:

[sandrine_guillerme]

Pour quinto :

Bien sur, même si je ne l'ai pas dis explicitement mais dans la démonstration d'isomorphisme j'ai précisé que l'injéctivité implique la bijectivité vu qu'on est en dimension finie ..


Sinon pour l'espace de Hilbert, connais pas moi

Merci en tout cas :++: