Tu confonds espaces vectoriels et variétés ! En effet pour les variétés c'est pas vrai mais pour les espaces vectoriels on a quelque chose de très sympa défini dessus : une structure algébrique (ses éléments peuvent interagir entre qu moyen d'une opération "interne" + et en plus il y a un corps qui "renforce" la structure en imposant des règles supplémentaires avec l'opération ".").
On peut très facilement imaginer les premières dimensions des espaces vectoriels
qui sont pour n=1, une droite pour n=2 un plan et pour n=3 l'espace autour de toi (pour chacun tu fixes un points que tu appelles "0"). Et dire que F est un sous espace vectoriel de dimension k est dire que par exemple si n=2, k=1 alors F est une droite de ton plan passant par 0 pour n=3 et k = 2 on a un plan qui contient 0.
Par exemple si tu prends une feuille à plat et que tu fais un point dessus que tu appelles O alors (en imaginant ta feuille infinie) tu as un sous espace de dimension 2 (un plan) dans l'espace dans lequel tu vis (R^3). Maintenant essaie d'imaginer que tu as un plan dans un plan, c'est pas possible à moins que tes deux plans soient un seul et même espace, de même que tu ne peux choisir que d'une seule manière une droite dans une droite, un espace dans un espace (par espace j'entends R^3). Et c'est ce que cette formule résume. En d'autre terme tu ne peux imaginer qu'un seul espace de dimension maximale dans ton espace de base.
Et pour démontrer que deux espaces sont les mêmes (pourvu qu'ils soient des espaces vectoriels) tu as avec ça un nouvel outil. L'ancienne méthode serait de montrer que si un élément est dans un alors il est dans l'autre. Maintenant tu démontres que l'un est inclu dans l'autre, qu'ils ont tous deux une même structure algébrique (d'espace vectoriel) et qu'ils ont la même dimension.
