Différentielle et dérivées partielles

[Pseuda]

Bonjour,

Je me pose une question à propos des différentielles par rapport à ce que je lis dans un livre. Soit une fonction différentiable sur un ouvert , à valeurs dans , avec e.v.n. de dimensions finies.

Il est dit que est de classe (différentiable et continue) sur si et seulement si a toutes ses dérivées partielles continues sur .

Mais nulle part il est dit que est de classe en si et seulement si a toutes ses dérivées partielles continues en . Vrai, faux, une implication seulement ? Je ne sais même pas si ma question a du sens.

(on a : si est différentiable en , alors les dérivées partielles de en existent, mais ne sont pas forcément continues)

Merci d'avance.

[Elias]

Salut Pseuda


Justement, c'est dans la phrase " est de classe en " qu'il y a un problème de sens.

Comme tu l'as rappelé, dire que est de classe sur signifie (à la base, par définition) que pour tout , la différentielle existe (I.e. f est différentiable en a) et que l'application de dans (applications linéaires de dans muni de la norme opérateur) qui à associe est continue.


Cette dernière application n'existe plus forcément si f n'est pas différentiable en tout point de U et on a donc du mal à adapter la définition à "f est de classe C^1 en un point a"

D'ailleurs, c'est la même chose pour les fonctions de R dans R.
On a une définition de "f dérivable en a" mais pas "f de classe C^1 en a"
"f est de classe C^1 sur un ouvert U de R" signifie que l'application est en plus continue.

est de classe en si et seulement si a toutes ses dérivées partielles continues en .

D'ailleurs, la deuxième partie de ton équivalence non plus n'a pas vraiment de sens car les dérivées partielles en a de ta fonction f sont des nombres et pas des fonctions, ce sont les nombres df/dx1(a), df/dx2(a) etc (qui sont des limites en fait) : ne pas confondre dérivée partielle par rapport à une variable en un point a (=nombre) et application dérivée partielle par rapport à une variable (= fonction qui à chaque point associe sa dérivée partielle) qui nécessite que les dérivées partielles existent en.tout point.

[Ben314]

Salut,
Je suis pas 100% d'accord avec Elias (mais quand même 99.5%.....) : On pourrait éventuellement définir une notion de "C^1 ponctuelle" en demandant à ce que la différentielle (ou la dérivée, ou les dérivées partielles) existent localement et que la dérivé (ou ...) soit continue au point fixé (et pas localement).
Mais, par contre, autant "on peu le faire", autant je sais pas si ça a bien de l'intérêt....

Sauf que ça permet de poser ta question sous une forme "correcte" : Si une fonction est différentiable au voisinage de a (donc admet des dérivées partielle au voisinage de a) et que les dérivées partielles sont continues en a, est-ce que la différentielle est forcément continue en a ?
A froid, j'aurais tendance à penser que non...

[Pseuda]

Merci Elias. En effet, et c'est ce qui me convainc le plus, dans , on ne parle pas d'une fonction de classe en Pourquoi ? à creuser.

Par contre, je ne suis pas trop d'accord avec :

Justement, c'est dans la phrase " est de classe en " qu'il y a un problème de sens.

Comme tu l'as rappelé, dire que est de classe sur signifie (à la base, par définition) que pour tout , la différentielle existe (I.e. f est différentiable en a) et que l'application de dans (applications linéaires de dans muni de la norme opérateur) qui à associe est continue.
Cette dernière application n'existe plus forcément si f n'est pas différentiable en tout point de U et on a donc du mal à adapter la définition à "f est de classe C^1 en un point a"

On pourrait imaginer que est différentiable sur , donc existe et on s'intéresse à la continuité de en seulement, et on pourrait donc dire que est de classe en .

D'ailleurs, la deuxième partie de ton équivalence non plus n'a pas vraiment de sens car les dérivées partielles en a de ta fonction f sont des nombres et pas des fonctions, ce sont les nombres df/dx1(a), df/dx2(a) etc (qui sont des limites en fait) : ne pas confondre dérivée partielle par rapport à une variable en un point a (=nombre) et application dérivée partielle par rapport à une variable (= fonction qui à chaque point associe sa dérivée partielle) qui nécessite que les dérivées partielles existent en.tout point.

Pour cela, je parlais des dérivées partielles (fonctions) continues en (pas des dérivées partielles en (nombres, ou vecteurs si dim F >1) continues, ce qui ne veut effectivement rien dire). Là pareil, les dérivées partielles peuvent exister sur U, et on peut s'intéresser à leur continuité en seulement.

[Pseuda]

Merci Ben314.

Salut,
Je suis pas 100% d'accord avec Elias (mais quand même 99.5%.....) : On pourrait éventuellement définir une notion de "C^1 ponctuelle" en demandant à ce que la différentielle (ou la dérivée, ou les dérivées partielles) existent localement et que la dérivé (ou ...) soit continue au point fixé (et pas localement).
Mais, par contre, autant "on peu le faire", autant je sais pas si ça a bien de l'intérêt....

Ok, c'est ça ma question. A ce propos, je me demande pourquoi la notion de fonction de classe (dérivable à l'ordre k mais de dérivée kième pas forcément continue) a disparu des programmes.

Sauf que ça permet de poser ta question sous une forme "correcte" : Si une fonction est différentiable au voisinage de a (donc admet des dérivées partielle au voisinage de a) et que les dérivées partielles sont continues en a, est-ce que la différentielle est forcément continue en a ?
A froid, j'aurais tendance à penser que non...

J'ai modifié mon message plus haut, je voulais dire : soit une fonction différentiable sur . Ma question est bien celle-là, mais je ne sais pas si elle a un intérêt. Mais je ressens à cause de cela comme une imprécision entre la notion de différentiabilité et la notion de dérivées partielles. J'aurais tendance à penser que oui, mais contre-exemple ?

[Elias]

On pourrait imaginer que est différentiable sur , donc existe et on s'intéresse à la continuité de en seulement, et on pourrait donc dire que est de classe en

Oui bien sûr, on peut tout imaginer et créer une définition mais je voulais dire par là qu'elle n'est pas standard (en tout cas, pas à ma connaissance).
On peut même, au lieu d'imaginer que df(x) existe pour tout x dans U, seulement imaginer que df(x) existe dans une boule ouverte centrée en a et donc "f de classe C^1 en a" suppose implicitement ceci.
Mais c'est d'ailleurs ce qu'explique Ben314 juste au dessus.

[Pseuda]

Ok, merci Elias. (hum, je me suis trompée plus haut sur ton pseudo). Je le change de ce pas. Aussi, pourquoi changer de pseudo ?

[Elias]

Le 1er avait été choisi complètement au hasard. ^^
Là, c'est juste mon prénom.

[Pseuda]

Ah, ce sera plus facile à retenir (car ce n'est pas un prénom courant).

[Pseuda]

Bonjour et merci pour vos réponses à tous les deux (j'ai modifié mon 1er message : je voulais parler au départ d'une fonction déjà différentiable).

Reste la question ouverte : pourquoi ne parle-t-on (jamais) d'une fonction de dans de classe en un point ?

[Ben314]

Reste la question ouverte : pourquoi ne parle-t-on (jamais) d'une fonction de dans de classe en un point ?

A mon avis, pour la même raison que, bien que la définition existe, on ne parle que très rarement d'une fonction supposée continue en UN seul point : a mon sens, tout les théorème intéressants d'analyse sont des théorème de passage du local au global. Pour prendre le premier vu scolairement, si f est dérivable (propriété locale) et f'(x)>0 (propriété ponctuelle) pour tout x, alors f est croissante (propriété globale : quand on écrit que, "si x>x' alors f(x)>f(x')", les réels x et x' peuvent être très éloignés)

[Pseuda]

Bonjour,

C'est vrai qu'on a du mal à imaginer une fonction continue en un seul point, et nulle part ailleurs (encore que cela doit bien pouvoir se trouver).
Sinon, pour revenir à ma question initiale, il semble intuitivement évident que si une fonction a toutes ses dérivées partielles (ou directionnelles) continues en un point, alors sa différentielle est continue en ce point, et réciproquement. C'est vrai pour les fonctions réelles. Il doit y avoir une difficulté à aborder la question ainsi, ou un manque d'intérêt. Cela donne l'impression d'un verrou qui n'est pas mis.

[mathelot]

Bonjour,

C'est vrai qu'on a du mal à imaginer une fonction continue en un seul point, et nulle part ailleurs (encore que cela doit bien pouvoir se trouver).

où est la fonction indicatrice des rationnels

[Pseuda]

En effet. C'est une fonction continue en 0 au sens mathématique (pas au sens de "sans lever le crayon"). La question est de trouver une fonction dérivable (sur un intervalle ou au voisinage d'un point), de dérivée continue en un seul point i.e. de classe C^1 en un point seulement.

[mathelot]

.....

[Ben314]

La question est de trouver une fonction dérivable (sur un intervalle ou au voisinage d'un point), de dérivée continue en un seul point i.e. de classe C^1 en un point seulement.

Ca, c'est pas possible.
Si une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert, sa dérivée est limite simple de fonction continues, à savoir les et donc elle est continue sur un ensemble dense via le théorème de la limite simple de Baire.

[Pseuda]

Bonjour Ben314,

En effet. Ce résultat me plait bien. "Continue sur un ensemble dense de réels", c'est presque "continue". C'est continue juste à côté, mais pas continue au voisinage (sinon cela voudrait dire que toute fonction dérivable est de dérivée continue). On est là aux limites de la définition adoptée pour la continuité. Merci !

Je comprends mieux pourquoi on ne s'intéresse pas à la continuité de la différentielle et des dérivées partielles en un point seulement.