[Dérivées partielles] Loi de composition

[Aeidail]

Bonjour à tous!
J'ai un petit problème avec les lois de compositions avec les dérivées partielles.
Voici l'exercice qui me pose problème:

J'ai les relations suivantes:



Et j'ai une fonction qui dépend de f et de x:
Et une autre fonction g:
Et on a la relation

Et mon problème est de calculer ce terme:

Alors voici comment je m'y prends, et j'aimerai savoir où est-ce que je fais la faute (si j'en fais une), parce que ça m'embête de ne pas trouver la bonne solution.


(Pour la deuxième égalité j'utilise la loi de composition donc...).

Bref, je m'arrête ici, parce que dans la correction, je vois ceci:



Alors soit j'ai fais quelque chose de faux, soit mon 2ème et 4ème terme à la fin de mon calcul s'annulent (mais je vois pas comment).

Si quelqu'un pouvait m'expliquer, ce serait sympa.
Merci d'avance =)

[dibeteriou]

Bon, clarifions les choses : il faut que tu décides si tu parles de fonctions de ou de .

Ecrire quelque chose comme ne sera pas accepté et pour cause : on s'embrouille.

Donc on va choisir de tout exprimer en fonction de comme tu l'as fait (c'est le bon choix !) :



On a alors .

Maintenant que tout est clarifié, le calcul doit se faire tout seul et sans ambiguïté...
Tu dois même pouvoir trouver en deux minutes le Laplacien polaire !

[Aeidail]

Salut et merci de ta réponse.
Alors oui désolé pour avoir un peu embrouillé les choses, mais je voulais bien entendu dire que:.

Ensuite, le terme que j'essaie de calcule se trouve justement dans le calcul du Laplacien polaire.
Donc au final c'est lui que je cherche (bon par contre je suis pas convaincu que ça prenne 2 minutes mais là n'est pas la question =) ).

Donc dans le calcul du Laplacien, je me retrouve à un moment avec ce terme:
Et lorsque je le calcule je trouve quelque chose de faux ou du moins je n'arrive pas à voir comment on est censé arrivé à

Donc voici mes calculs:


Donc j'ai deux termes supplémentaires par rapport au "corrigé".
Ce serait vraiment sympa juste de me dire à quelle étape je commet une faute et laquelle, car là je suis bloqué depuis plusieurs heures =/

Merci encore pour l'aide

[dibeteriou]

Tu es sûr d'avoir le droit de permuter les symboles à la première étape ?

[bentaarito]

à ce que je sais, ce-là n'est possible sauf si les variables sont indépendantes, ce qui n'est pas le cas ici.

[bentaarito]

tu pourras faire ça si tu arrives à prouver que ta fonction est C² sur son domaine de définition ; mais je pense que ça sera pas nécessaire de procéder ainsi dans ton cas

[Ben314]

Salut,
Perso, j'ai un petit problème de notations.
Les seules auquelles je suis habitué sont celles des matheux...
Lorsque tu écrit f(x,y)=g(r,theta), pour moi, c'est de la "notation matheux", il me semble que dans ce cas, pour le physicien, f=g (c'est l'entropie du système ou je sais pas quoi d'autre que l'on peut voir soit comme une fonction de x,y soit comme une fonction de r,theta, mais ça ne change pas son nom qui est "entropie du système")
Si tu utilise cette notation "matheuse", ben, tu ne peut pas calculer les dérivées partielles de f par rapport r, ni celles de g par rapport à x !!!
De même, comme d.g/d.r est une fonction de (r,theta), ben tu peut pas calculer la dérivée de d.g/d.r par rapport à x !
Tout ça pour dire que, si l'on veut utiliser jusqu'au bout des notations "à la matheuse", il faut donner un nom à la fonction R²->R²;(r,theta)->(r.cos(theta),r.sin(theta)), appelons la par exemple P (comme polaire).
Ton égalité f(x,y)=g(r,theta) s'écrit rigoureusement g=foP (composition)
et toute tes formules sont cencées donner des liens entre des truc du style
ou avec des trucs du style .
Par exemple, avec ces notations, ce qui aurait "du sens" serait un truc du style :

et, si tu voulais "permutter" les d/d?, le truc qui aurait du "sens" serait :

Evidement, d'un seul coup, ça donne beaucoup moins l'impression que "c'est la même chose (ne serait-ce qu du fait que le premier est une fonction de (x,y) alors que le second est une fonction de (r,theta), mais ça, c'est pas trop grave, il suffit de rajouter un "" à la fin de la première expression.)

[Aeidail]

Merci pour vos réponses.
Alors oui ma fonction f est bien .

Pour être sûr qu'on est sur la même longueur d'onde voici mot pour mot l'énoncé:

Soient , , et , , une fonction .
Soit
ou en d'autre termes .

Montrer que

Voilà pour être sûr qu'on est tous d'accord sur les définitions.
Maintenant pour répondre à Ben314:

Alors je suis sûr qu'on a le droit d'écrire (c'est utilisé dans le corrigé):


Donc sachant cette relation, je me suis dit qu'on pouvait faire ceci:

Puisque

Et donc :


Alors est-ce que ce serait faux? Mais dans ce cas, je ne vois pas pourquoi on n'aurait pas le droit d'écrire ?

Et en admettant toujours que c'est faux, comment est-ce qu'on justifie cette égalité dans le corrigé ?


Merci encore pour votre aide.

[Ben314]

Bon, sur les notations, je le (re)dit, il y a les notations "total mathématiques" où il y a normalement une dizaine de "" à chaque ligne mais où on n'a qu'une seule fonction f (vu que ) et, à l'autre extrémité, les notation "total physique" ou il n'y a pas vraiment de fonction et où il n'y a quand même qu'une seule fonction (tu as du faire des exos où par exemple la distance parcourue par le cycliste, ben on l'appelle tout le temps D, et on ne change pas son nom sous pretexte que l'on écrit sa valeur en fonction de paramètres différents)
Aprés, il y a tout un "pannel" intermédiaire entre les deux notations.

L'intermédiaire utilisé par la correction me semble tout de même un peu bizare : au départ il donne deux nom différents (f et g) à une quantité qui est la même mais qui ne dépend pas des mêmes paramètres (x,y pour f et r,theta pour g). Il me semble que le seul intérêt possible de cette notation est de voir que f ne se dérive qu'en x,y alors que g ne se dérive qu'en rho;theta or, plus loin, tu dit qu'ils écrivent d/dx(dg/dr) alors que dg/dr est une fonction de (r,theta)... Dans ce cas, je ne comprend vraiment pas pourquoi ils ont donnés deux noms différents au début vu qu'il s'authorisent à dériver en x des fonction de theta ils auraient don pu dés le début écrire du dg/dx et dg/dy et ne pas introduire de fonction f du tout.
Cela va dans le sens de ce que tu écrit lorsque tu écrit df/dx=dg/dx (tu t'autorise à dériver en x la fonction g qui est une fonction de (r,theta)) mais à mon avis, il n'y a alors plus aucun intérêt à faire une quelconque distinction entre f et g !!!

Bon, ensuite, la formule dont tu parle s'écrit :

(je met exprés des g des deux cotés, vu que de toute façon, lorsque l'on mélangera des dérivées d/dx avec des d/dr, il faudra forcément confondre f avec g !!!!)
et, effectivement, comme elle est valable pour toute fonction g, tu as parfaitement le droit de l'appliquer en prenant dg/dr à la place de g et tu as aussi parfaitement le droit de dériver cette formule par rapport à r ou theta ou x ou y...
(par contre, bien que d/dr et d/d.theta commutent (ainsi que d/dx et d/dy) si la fonction est C², je ne suis pas convaincu que d/dr et d/dx commutent...)