Differentiabilite d'une norme en 0

[nemesis]

bonsoir
pour montrer que toute norme N sur un e.v.n E, n'est pas differentiable en 0,j'ai utilisé ceci :



on suppose qu'elle soit diff en 0 on peut ecrire N(h)=o(N(h)) soit h non nule fixer dans E pour tout reél t>0 N(th)=o(N(th))lorsque t tend vers 0 et donc tN(h)=o(t)lorsque t tend vers 0 anssi N(h)=o(1) lorsque t tend vers 0 finalement N(h)=0 ce qui est faut cae N est une norme et h non nule

pouvez vouz me dire c'est juste ?? merci

[nemesis]

Alors ???????????

[nuage]

Salut,

on suppose qu'elle soit diff en 0 on peut ecrire N(h)=o(N(h))

pourquoi peut-on écrire ceci ?
C'est déjà contradictoire.

[nemesis]

pourquoi c'est contradictoire ,stp??

[nuage]

si x=o(u) alors u/x a pour limite zéro. Or ce n'est pas le cas si x=u.
tout ceci à prendre au point voulu.

[nemesis]

comment faire alors pour montrer que N es non differentiable en 0

[nuage]

Et bien si tu as réussi à montrer que N différentiable en 0 entraine N(h)=o(N(h)) au voisinage de zéro, c'est bon. Tu es arrivé à une contradiction.

[nemesis]

une idée pour y'arriver ???

[mathelot]

salut,
supposons que la norme N est différentiable en 0.
Il existe une application linéaire L telle que:


soit un vecteur quelconque non nul et un réel strictement positif assez petit:

en divisant par t:

soit

étant quelconque, ceçi entraine que la norme est linéaire
ce qui n'est pas, car elle prendrait des valeurs strictement négatives.

[nuage]

Si N est différentiable en zéro alors il y a une forme linéaire f (ne dépendant pas de h)telle que :
N(h)=f(h)+o(N(h))
f est la différentielle.
2 N(h)=N(h)+N(-h)= etc..

[nemesis]

ok,je vais voir tout ca