Différentiabilité et théorème des fonctions implicites

[zaidoun]

Bonsoir,
J'ai deux questions:
1) Montrer que l'application f définie sur Gl_n(R) x M_n(R) par:

est différentiable et calculer sa différentielle.

2)Pour et , on considère le système d'équations (I) suivant

et
.
a)Montrer que le système (I) admet une solution qui est au voisinage de ((1,0), (0,0)).
b) Calculer la différentielle de en (1,2).


Pour 1) f est la composé de deux fonctions: f = g o h
avec h: Gl_n(R) x M_n(R) --> M_n(R) x M_n(R) définie par h(A, B)= ( AB, A^{-1} )

et g: M_n(R) x M_n(R)--->M_n(R) définie par g(H, K)= H K

g est bilinéaire continue donc différentiable

h est différentiable ssi les composantes de h sont différentiables: pour la première c'est bon.

Pour la deuxième composante, j'ai essayé d'utiliser la définition mais je suis bloqué.

Pour 2) Je pense qu'il faut utiliser le théorème des fonctions implicites mais je sais pas comment!

Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
Bon, pour commencer, un truc pas bien intéressant mais qui fait un peu bizarre à la lecture de ta prose : pourquoi considère tu (A,B)->(AB,A^-1) puis l'application bilinéaire "produit" et pas (A,B)->(A,B,A^-1) puis l'application trilinéaire "produit" ?
ça n'a pas vraiment d'importance, mais c'est un peu bizarre de "couper en deux" (perso, soit j'aurais pas coupé du tout ou alors j'aurais coupé en 3...)

Bon, sinon, concernant la A->A^-1, c'est (plus ou moins) a "savoir par cœur" tellement c'est classique :
1) L'ensemble GL(n,R) [ou C] est un ouvert de M(n,R) [ou C]
2) L'application i:GL(n,R)->GL(n,R);A->A^-1 est différentiable et d_i(A).H=-A^-1HA^-1.

Le 1) se montre en partant du fait que, si ||H||<1 (norme d'opérateur) alors la série Som(H^n) est normalement C.V. et C.V. vers (I-H)^-1 ce qui montre que la boule de centre I et de rayon 1 est contenue dans GL(n,R).
En utilisant le fait que (AB)^-1=B^-1A^-1, on en déduit que, quelque soit la matrice A de GL(n,R), si ||H||<||A^-1||^-1 alors A-H est inversible (et on a même son inverse sous forme de somme ce qui est utilisé en analyse numérique pour inverser des matrice "à diagonale dominante")
Pour le 2) si on veut juste expliquer que i est inversible, on peut invoquer le fait que A^-1=1/det(A)xtransposé(cofacteur(A)) formule dans laquelle tout est polynomial en les variables (i.e. les coeffs de A) ce qui montre qu'on a des dérivées partielle de l'ordre qu'on veut donc que i est indéfiniment différentiable.
Pour évaluer la différentielle, en général, on se place en I (le cas général se déduisant ensuite de la formule ((AB)^-1=B^-1A^-1) et on écrit que (I+H)(I-H)=I-H² qui implique que (I+H)^-1=I-H+o(H) voire même directement (I+H)^-1=Som((-H)^n) pour ||H||<1.

Pour le 2), ça ne vas pas franchement changer grand chose aux calculs, mais il faudrait que tu précise si la fonction phi cherchée est (u,v)->(x,y) ou bien (x,y)->(u,v).

[zaidoun]

Bon, pour commencer, un truc pas bien intéressant mais qui fait un peu bizarre à la lecture de ta prose : pourquoi considère tu (A,B)->(AB,A^-1) puis l'application bilinéaire "produit" et pas (A,B)->(A,B,A^-1) puis l'application trilinéaire "produit" ?
ça n'a pas vraiment d'importance, mais c'est un peu bizarre de "couper en deux" (perso, soit j'aurais pas coupé du tout ou alors j'aurais coupé en 3...)

Ok, pour la différentiabilité de (A, B)-->(A,B,A^-1), c'est équivaut à la différentiabilité de (A, B)--> A , (A,B)-->B et (A,B)--> A^{-1}, non?
Les deux premières sont faciles (linéaires continues), juste pour la troisième (ici c'est A--> A^{-1}, c'est (A, B)--> A^{-1})

Pour le 2), ça ne vas pas franchement changer grand chose aux calculs, mais il faudrait que tu précise si la fonction phi cherchée est (u,v)->(x,y) ou bien (x,y)->(u,v).

Il n'a précisé dans la question.

[Ben314]

La seule "indic" qu'on a pour trouver l'info cruellement manquante de l'énoncé (et tu lui dira de ma part...) c'est ça

...au voisinage de ((1,0), (0,0)).

Vu que ((u,v),(x,y))=((1,0),(0,0)) n'est pas solution des deux équations,alors que ((x,y),(u,v))=((1,0),(0,0)) l'est, et que, conventionnellement, on parle du point (X,phi(X)) plutôt que de (phi(X),X), ça signifie que la fonction a déterminer, c'est phi:(x,y)->(u,v).

De toute façon, ça change pas bien la théorie : ici, tu prend et tes équations correspondent à où (avec X=(x,y) et U=(u,v)) et pour montrer qu'on peut appliquer le th. des fonctions implicites et qu'il existe localement une fonction , il faut que tu montre que la "différentielle partielle" est inversible (c'est une application linéaire de E->E)

[Ben314]

En fait, si, il y a une deuxième "grosse" indic : dans le sens (u,v)->(x,y), c'est un bête système linéaire à résoudre donc pas bien intéressant...

[zaidoun]

Ok merci bien. Juste pour la différentiabilité de l'application (A,B)--> A^{-1}???

[zaidoun]

Autre chose que m’embête comment calculer "différentielle partielle"
et aussi ?

[Ben314]

La "différentielle partielle" , c'est, pour fixé, la différentielle en de l'application de (donc exactement la même définition que les dérivées partielles, sauf qu'on ne "bloque" pas toutes les variables sauf une).

Écrit ce qu'est cette application en prenant bien garde à voir qui est constant et qui est variable et déduit en sa différentielle en qui est une application linéaire de E->E, c'est à dire en fait une matrice 2x2 (dont les coeff. sont évidement certaines dérivées partielles des deux fonctions réelles de départ).

Concernant , ton cours doit te "vendre" que c'est
qui est la composée de deux applications linéaires de E->E (i.e. le produit de deux matrices 2x2)