Théorème des fonctions implicites.

[Apparition]

Bonjour, j'ai un exercice assez basique sur le théorème des fonctions implicites, j'aimerai savoir si la rédaction est bonne ou foireuse.

1) Montrer que l'ensemble S={(x,y,z) appartenant à R^3 : ln(1+y-z)-x-z=0} s'écrit au voisinage de (0,0,0) comme le graphe z=phi(x,y) d'une fonction phi de classe C^1 telle que phi(0,0)=0 .
2) Ecrire le développement limité à l'ordre 1 de phi en (0,0).

1)Soit f : R^3 --> R qui à (x,y,z) associe ln(1+y-z)-x-z . f est une fonction C^1 sur R^3. De plus la dérivée partielle de f par rapport à z en (0,0,0) vaut -2 qui est différent de 0, donc selon le théorème des fonctions implicites, il existe un voisinage U de (0,0), un voisinage V de 0 et une application phi qui va de U dans V et qui est C^1 telle que :

Pour tout (x,y) appartenant à U et pour tout z appartenant à V on a :
f(x,y,z)=0 est équivalent à z=phi(x,y).

2) Pour tout (x,y) appartenant à U, phi(x,y)= phi(0,0)+x*((df/dx)(0,0))+y*((df/dy)(0,0)) + o((x,y))
phi(x,y)=y-x

Merci d'avance pour vos remarques,

[Ben314]

Salut,
Le 1), c'est O.K., par contre le 2), c'est faux.
Et je t'inciterais plus que fortement à reexpliquer à chaque fois comment on fait pour trouver les dérivées partielles de phi à l'aide de celles de f : ça tient une ligne et c'est bien évidement bien plus intelligent d'apprendre le pourquoi que d'apprendre bêtement par cœur une formule (surtout si c'est pour la recracher fausse...)

[Apparition]

Merci pour ta réponse, effectivement j'ai été beaucoup trop vite pour la question 2.

Par définition de phi on a : f(x,y,phi(x,y))=0 . On dérive cette relation :
(df/dx)(x,y,phi(x,y))+(dphi/dx)*(df/dx)(x,y,phi(x,y))=0
ainsi : (dphi/dx)(x,y)=-(df/dx)(x,y,phi(x,y))*1/(df/dx)(x,y,phi(x,y))

On fait de même pour la dérivée partielle de phi par rapport à y et ensuite j'ai juste à utiliser la formule suivante :
phi(x,y)= phi(0,0)+x*((dphi/dx)(0,0))+y*((dphi/dy)(0,0)) + o((x,y))

Etes vous d'accord sur la méthode utilisée ?
Pour la question 1 juste je suis pas sur pour les voisinages n'y a-t-il pas une erreur ?

[Ben314]

Attention :

Par définition de phi on a : f(x,y,phi(x,y))=0 . On dérive cette relation :
(df/dx)(x,y,phi(x,y))+(dphi/dx)*(df/dz)(x,y,phi(x,y))=0
ainsi : (dphi/dx)(x,y)=-(df/dx)(x,y,phi(x,y))*1/(df/dz)(x,y,phi(x,y))

On fait de même pour la dérivée partielle de phi par rapport à y et ensuite j'ai juste à utiliser la formule suivante :phi(x,y)= phi(0,0)+x*((dphi/dx)(0,0))+y*((dphi/dy)(0,0)) + o((x,y))

Ca, par contre, c'est O.K.
Et un truc qui semble "assez normal", c'est que dans ton résultat final (concernant le D.L. de phi en (0,0)), il apparaisse non seulement df/dx(0,0,0) et df/dy(0,0,0) mais aussi df/dz(0,0,0). Et encore plus "normal", cette dernière quantité df/dz(0,0,0) apparait comme dénominateur d'une fraction et ça "colle" avec le théorème des fonction implicite (dans ce cas là) où tu doit avoir df/dz(0,0,0) non nul pour que ça marche.

Etes vous d'accord sur la méthode utilisée ?
Pour la question 1 juste je suis pas sur pour les voisinages n'y a-t-il pas une erreur ?

Oui, c'est bon (sauf le d/dz évidement...)
Et les voisinages, c'est bien ça.

[Apparition]

D'accord, je vais faire encore 2,3 exos pour bien être rigoureux au niveau des dérivées partielles, merci beaucoup !