0 différent de 1

[Hannaut]

Bonjour,

Je suis en train d'étudier les axiomes de R (quand il n'est pas construit).
Je sais que dans les anneaux réduits en un singleton, les deux neutres se confondent, c'est même ce qui les caractérisent.

Par unicité du neutre on peut noter 0 l'unique nombre réel tel que pour tout réel a : a + 0 = 0 + a = a.
Dans le cas de 1 pareil : pour tout a réel, a x 1 = 1 x a = a.
Quel argument me faudrait-il pour assurer que 0 diffère de 1 ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

fait partie des axiomes de corps, donc des axiomes de quand on choisit une approche axiomatique (corps ordonné bla bla).

[Hannaut]

Bonjour,

C'est bien ce que je me disais !

Merci.

[Hannaut]

Je vais en profiter pour poser une autre question

Dans certains raisonnements, je vois que lorsque a < b (a et b sont des réels), alors il existe un réel c strictement positif tel que b = a + c.
De quel théorème fait référence cette affirmation ?
J'avais pensé à Archimède, mais je ne crois pas, il ne fait pas appel à l'addition.

[phyelec]

Bonjour,

cela vient du fait que R est un corps totalement ordonné :

Un corps totalement ordonnée K est un corps muni d'une relation d'ordre total compatible avec l'addition:



et avec la multiplication par un élément positif ( on suppose K commutatif) :

[phyelec]

erratum :

[Hannaut]

Bonjour,

D'accord, c'est donc le fait que R est ordonné.
Cela dit comment justifier clairement que :
pour tout a,b de R, a < b <=> il existe c de R+* tel que b = a + c.

Je ne sais même pas où démarrer avec la compatibilité de l'ordre

[phyelec]

Bonjour,

je ne comprends pas votre question, c= a-b donc il existe et a < b alors a-b est non nul, R est un corps donc un groupe pour la loi +.

[Hannaut]

Ah oui...
C'était tout bête !
Merci pour la réponse !