Diagonalisation d'une matrice

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Donner une condition nécessaire et suffisante sur a appartenant a R pour que la matrice M

Voila ma recherche :

--> Une matrice est diagonalisable si et seulement si la somme des dimension de ses sous espace propre est égale a la dimension de l'espace.

Ou

-->Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et que pour tout y valeur propre, la dimension du sous espace propre associer Ea est égale a la multiplicité de a



Après je ne sais pas quoi faire pour simplifier l’expression du déterminant
Pouvez vous m'aider
Merci

[ilikoko123]

essaye de rendre une ligne nulle et developper selon cette ligne

[aymanemaysae]

Soit P(k) le polynôme caractéristique de M, donc P(k) = - det(M-kI)
= (k-3)(k^2 +(4+a)k+(a^2+2a+4)): on a delta((k^2 +(4+a)k+(a^2+2a+4)) = -3a^2,
donc k^2 +(4+a)k+(a^2+2a+4)= 0 admet des racines complexes pour a<>0, et donc dans ce cas M n'est pas diagonalisable.
Si a=0 on a P(k) = (k-3)(k^24k+4)=(k-3)(k+2)^2, donc:
si k=-2 , la base du sev rapporté à (-2) est ((1,1,0),(0,0,1)), donc sa dimension est 2 égale à la multiplicité de (-2) .
k=3, la base du sev rapporté à 3 est (1,0,1), donc sa dimension est 1 égale à à la multiplicité de 3.
Donc M est diagonalisable.
Donc M est diagonalisable pour a=0.
J'espère que l'un des visiteurs du Forum me rassure ou m'oriente vers la le bon chemin.

[Maths-ForumR]

Pour le déterminant j'ai fait l'opération C1 <-- C1 + C2 et j'obtiens :
(X+2)((X-a+2)(x+2)+5a). C'est bien ça ?


Donc pour a=0 la matrice est diagonalisable
Mais je n'arrive pas à faire le a<>0 car on ne peut pas calculer les valeurs propres et dire que le polynôme est scindé ne suffit pas pour conclure non ?

[aymanemaysae]

J'ai modifié mon message ci-dessus.

[Maths-ForumR]

Notre professeur nous a demander de partir de :

Soit XM le polynôme de M :
XM = det(XI2-M) = ...

D'où ma réponse :
XM = det(XI2-M) =
X-3+a ; 5-a ; -a
a ; X-a+2 ; -a
-5 ; 5 ; X+2

Avec l'opération C1 <-- C1 + C2 et j'obtiens, XM =(X+2)((X-a+2)(X+2)+5a)

Pouvez vous me dire si c'est juste ?

[aymanemaysae]

La deuxième ligne de la matrice de départ était (-a,-2,a),
donc la deuxième ligne de xI-M sera (a,2-x,-a) et non (a,x-a+2,-a), d’où la différence entre nos deux résultats.

[Maths-ForumR]

Excusez moi j'ai fais une faute de frappe au départ j'ai :
M = 3-a , -5+a , a
-a , a-2 , a
5 , -5 , -2

Donc (XI2-M) est bien égale a :
X-3+a ; 5-a ; -a
a ; X-a+2 ; -a
-5 ; 5 ; X+2

D'où XM =(X+2)((X-a+2)(X+2)+5a)

Donc pour a=0 :
On -2 valeur propre de multiplicité 3
En écrivant la matrice en remplaçant les a par 0, on a une matrice de rang 3
Donc dim (M(0))= multiplicité de (-2)
Conclusion la matrice est diagonale

Pour a<>0 je ne vois pas comment faire

[aymanemaysae]

Dans le déterminant de xI-M , j'ai procédé comme suit:
L1 <--- L1 - L2 puis C2 <--- C2 + C1
et j'ai obtenu det(xI-M) = (x-3)(x+2)^2 , donc le polynôme caractéristique de M
est indépendant de "a" .

[Maths-ForumR]

Ah oui merci donc on a 2 valeur propre :
-2 de multiplicité 2
3 de multiplicité 1

Or M(a) est de rang=3 donc dim (espace) = somme multiplicité valeur propre
Donc M(a) est diagonalisable.

Mon résonnement est correcte ?

Mais si le déterminant est indépendant de à Comment faire pour donner une condition sur a pour que M(à) soit diagonalisable ?

[Kolis]

Bonjour !
Revoir tes calculs car le déterminant de la matrice est 30a+12.

Ton calcul est juste pour a=0.

[Kolis]

Bonjour !
Après vérifications (les faire aussi svp !) le polynôme caractéristique est .
Le facteur de degré 2 a pour discriminant réduit donc :
. Pas diagonalisable dans si mais diagonalisable dans
. Diagonalisable dans si
. Pas diagonalisable (ni dans ni dans ) si

[Maths-ForumR]

Le déterminant de quelle matrice vaut 30a+12 ?

moi j'ai det (XI3-M)=(X+2)((X-a+2)(X+2)+5a)
En développement je ne trouve pas du tout comme vous ...

[Kolis]

Le déterminant de quelle matrice vaut 30a+12 ?

La méthode du message de 13h17 est il juste en raison de mon questionnement dans le message de 14h09

Celle qui a été corrigée : premier message modifié...

Il faudrait remettre les ordinateurs à l'heure! Je ne vois aucun message pour ces dates !

[Maths-ForumR]

Mais moi in me demande de partir de
Det (XI3-M) = ...

Donc j'ai det (XI3-M)=(X+2)((X-a+2)(X+2)+5a)
En développement je trouve :
(X+2)( X^2 + (4-a)X +4+3a )
Avec delta=20a+a^2

[aymanemaysae]

Pour faire des calculs sur les matrices, voici un site qui s'en occupe (c'est un lien qu'un visiteur de ce forum a indiqué à tous ceux qui sont intéressés par les calculs sur les matrices).
http://wims.unice.fr/wims/fr_tool~linear~matrix.html
Pour a0 et x=-2, on trouve un sev de base ((1,1,0)) dont la dimension est 1 différente de 2 qui est la multiplicité de -2, donc pour a0 la matrice M n'est pas diagonalisable.
pour a=0 et x=-2, on trouve un sev de base ((1,1,0),(0,0,1)) de dimension 2 égale à la multiplicité de -2, donc on doit vérifier aussi pour a=0 et x=3, dans ce cas on trouve un sev de base ((1,0,1)) de dimension 1 égale à la multiplicité de 3, donc les dimensions des sev rapportés aux valeurs propres sont égales à leur multiplicité, donc pour a=0, la matrice M est diagonalisable.

[Maths-ForumR]

Je trouve la même chose que vous pour -3

Comment faite vous pour trouver les bases de x=-2 ?
Dans les 2 cas j'ai un système avec x=y=z=0 donc j'ai le vecteur (1,1,1)

[aymanemaysae]

Pour a=0 et x=-2 on a le système suivant:
-5u+5v+0t = 0
0u+0v+0t=0
-5u+5v+0t=0
qui donne que u=v et t un réel quelconque, donc les éléments du sev rapporté à -2 sont de la forme
(u,u,t) avec u et t des réels quelconques, et comme (u,u,t)=u(1,1,0)+t(0,0,1) avec (1,1,0) et (0,0,1) formant une famille libre et engendrent le sev déjà cité,alors ((1,1,0),(0,0,1)) est une base de ce sev dont la dimension est égale à 2 , égale à la multiplicité de -2.
Pour x=3 on a le système suivant:
0u+5v+0t = 0
0u+5v+0t=0
-5u+5v+5t=0
qui donne u=t et v=0, donc les éléments du sev rapporté à 3 sont de la forme
(u,0,u) avec u un réel quelconque, et comme (u,0,u)=u(1,0,1), donc le sev rapporté à 3 est engendré par (1,0,1) et donc de dimension égale à 1 , égale à la multiplicité de 3.

[Maths-ForumR]

Pour 3 j'avais la meme chose c'est pour le -2 j'avais oublié le - donc je ne trouvais pas je viens de le refaire j'ai bien le même résultat que vous merci !