Diagonalisation d'une matrice complexe

[mimidaguet]

Bonjour,

Je travail actuellement sur un projet de d'optique.
J'ai une matrice complexe de la forme suivante

Où A* est le complexe conjugué de A. Pareillement pour B* avec B.

Sachant que:

(R(X) et I(X) sont bien entendu la partie réelle et imaginaire du nombre X)

J'ai calculé les valeurs propres
Je trouve :

J'ai aussi trouvé les vecteurs propres :

Donc j'ai pu créer mes matrice de passage
Mais quand je fait la multiplication ca devient très volumineux et j'arrive pas à trouver le résultat.
Donc si vous avez une idée pour simplifier ce calcul ou si vous voyez une erreur je suis preneur.
Merci par avance.

[Heure]

Elle est C diagonalisable donc si tu trolmpe pas avec tes matrices de passages tu dois tomber sur une diagolnale de valeurs propres.. Par contre le calcul est pas monstrueux c'est des matrices 2 2 faut juste poser les calculs. Attention à bien changer de base D=P^-1AP

[mimidaguet]

Oui, en théorie ca fonctionne.
Mais j'arrive à la fin à une matrice(qui fait kan même la largeur de la page) que je n'arrive pas à simplifier.

[Ben314]

Salut,
Pour faire les calculs plus simplement, tu devrait peut-être chercher sur internet les propriétées des quaternions : en fait, l'ensemble des matrices est un corps (non commutatif) appelé le corps des quaternions.
Les calculs n'y sont pas super compliqués et il y a un lien assez profond entre ce corps et les similitudes directes de R^3 (un peu comme le corps des complexes et les similitudes de R², mais c'est un peu plus vicieux...)

[mimidaguet]

Oui, j'ai regardé rapidement les questions de similitudes, je vais approfondir ça et regarder les quaternions.
Merci pour ta réponse.

[Ben314]

Aprés quelques calculs, si avec et si on pose alors où et

[mimidaguet]

C'est tellement plus joli que les 50 lignes qui sont sur ma feuille. Merci beaucoup.

[mimidaguet]

Juste pour information(et surtout pour m'améliorer), quand tu as M et P, tu as une méthode particulière pour trouver trouver la matrice D, où tu fais juste les multiplication des matrices ? Merci encore pour l'aide :happy2: