Diagonalisabilité d'une matrice

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de m'exercer sur la diagonalisation des matrices/endomorphismes, mais là je reste bloqué sur le même exo qui me donne du fil à retordre.


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Soit

Soit la matrice de telle que si :



(je crois bien que le nom "non officiel" d'une telle matrice est une matrice antidiagonale)


Je dois déterminer à quelle condition la matrice est diagonalisable.

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Comme la matrice est à coefficient complexe, j'ai vraiment du mal à voir une condition nécessaire et suffisante portant sur la diagonalisabilité de A.

Je pensais partir sur la fait que A² est une matrice diagonale, mais ça m'a pas vraiment permis d'aboutir (en revanche dans le cas où les coefficients sont tous réels, ça aide).
Je pensais aussi déterminer les valeurs propres puis voir à quelle condition la somme des espaces propres est égale à , mais sur cette voie je fais face à un mur.


Si quelqu'un peut me donner un petit coup de pouce svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[arnaud32]

calcules le polynome caracteristique

[Ben314]

Perso, j'aurais "sauté" sur le truc qui crève les yeux, à savoir que les s.e.v engendrés par les sont globalement invariants ce qui permet de se restreindre à des matrices 2x2 (et éventuellement une matrice 1x1 si n est impair)