Développements limités ln

[Shargat]

Bonjour.

Voilà la question:
Montrons que pour tout t>-1

ln(1+t)= t - t^2/2 + t^3/3 + t^3/3E(t)

On reconnait le DL particulier pout t au voisinage de 0 mais pour un t général faut-il forcément repasser par les dérivées successives de ln et appliquer la formule de Taylor Young?

Merci d'avance.

[yos]

Mais c'est Taylot-Young qui te donne le DL.

[Shargat]

Oui mais Taylor Young c'est pour t au voisinage de 0?

Or là c'est tout t>-1...

[emdro]

Bonjour,

Tu veux dire un DL en a en général par rapport au tien qui est en 1?

Si c'est le cas, tu écris ln (a+t)=lna+ln(1+t/a) et tu utilises ton développement précédent.

Le t lui est nécessairement au voisinage de 0.

[yos]

Oui mais Taylor Young c'est pour t au voisinage de 0?

Or là c'est tout t>-1...

On s'en tape car tout ce qu'on veut sur E(x), c'est qu'il tende vers 0 en 0.

[Shargat]

Je pige pas car selon Taylor Young cete formule de Ln(1+T) n'est valable que pour t au voisinage de 0...

[emdro]

Disons que cette formule ne nous intéresse qu'au voisinage de 0.

Pour imager, c'est une généralisation de l'approximation d'une courbe par sa tangente. A quoi bon le faire loin du point de contact?

[yos]

Pose pour t non nul et regarde ce que ça te fait.

[quinto]

Je pige pas car selon Taylor Young cete formule de Ln(1+T) n'est valable que pour t au voisinage de 0...

Le que pour est de trop, il n'y a rien dans le théorème de Taylor-Young qui te dit que c'est faux ailleurs.
En fait, le développement est vrai sur le plus grand ouvert sur lequel la fonction est holomorphe (développable en série entière). Ici ln(1+t) est holomorphe sur le disque de centre 0 et de rayon 1, donc on a bien le développement de Taylor sur ce disque, donc pour t réel, ca correspond bien à -1<t<2

[fahr451]

bonjour

tant que tu ne dis pas ce que fait la fonction E ...


on a aussi pour t >-1 et t non nul

ln(1+t) = t - 1700000000t^3 +t^3E1(t)