je bloque pour le développement limité de deux fonctions à l'ordre 2 au voisinage de 0 :
f(x)=ln(1+e^x)
j'ai fais le D.L. de e^x et donc f(x)=(2+x+x²/2) après je bloque.
Je voulais faire ln(1+X) avec X=e^x mais on a pas le droit car e0 ne vaut pas 0 donc?
et après j'ai
h(x)=racine(1+(racine(1+x))) je bloque aussi
quelqu'un peut-il m'aider?
Développements limités
11 messages
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par sarah79 » 20 Sep 2010, 17:40
Comment on trouve ce résultat?
Dans mes formules de cours ja n'ai pas le DL de ln(2+x) jai le DL de ln(1+x), de e^x, ...
Je voudrais le détail.
Dans mes formules de cours ja n'ai pas le DL de ln(2+x) jai le DL de ln(1+x), de e^x, ...
Je voudrais le détail.
par Nightmare » 20 Sep 2010, 17:41
Eh bien, comme on fait en terminale :
=ln\(2\times \(1+\frac{X}{2})\)\)=ln(2)+ln\(1+\frac{X}{2}\))
Donc un DL en 0 de ln(2+x) vaut ln(2)+le DL en 0 de ln(1+x)
Donc un DL en 0 de ln(2+x) vaut ln(2)+le DL en 0 de ln(1+x)
par Ben314 » 20 Sep 2010, 17:51
Le début est à peu prés OK à deux détail prés :
- tu as oublié de recopier le "ln"
- comme c'est un D.L. il faut écrire un "terme résiduel" qui est soit o(x²) soit x².epsilon(x) soit ... (ça dépend des notations de ton prof./ de ton livre)
f(x)=ln(2+x+x²/2+x².epsilon(x))
ensuite, tu ne peu effectivement pas utiliser la formule ln(1+h)=... vu que, lorsque x est proche de 0, 2+x+x²/2+x².epsilon(x) n'est pas proche de 1 mais de 2.
Deux solutions (au moins) :
1) On jette à la poubelle la formule ln(1+h)=... qui est le D.L. du ln au voisinage de 1 et on cherche le D.L. du ln au voisinage de 2 à l'aide de la formule f(a+h)=f(a)+f'(a).h+f''(a)/2.h²+h²epsilon(h) : c'est pas super long.
2) On se rapelle que le ln vérifie la formule ln(a*b)=ln(a)+ln(b) donc que, si par exemple une certaine quantité A est proche de 2, on peut écrire ln(A)=ln(2)+ln(A/2) et qu'évidement A/2 est maintenant proche de 1 donc on peut appliquer ln(1+h)=...
Idéalement, tu peut faire les deux et vérifier que l'on trouve la même chose.
Edit : comme je faisait autre chose en même temps, j'ai mis 3 plombes à taper et n'est lu aucune des réponses çi dessus...
- tu as oublié de recopier le "ln"
- comme c'est un D.L. il faut écrire un "terme résiduel" qui est soit o(x²) soit x².epsilon(x) soit ... (ça dépend des notations de ton prof./ de ton livre)
f(x)=ln(2+x+x²/2+x².epsilon(x))
ensuite, tu ne peu effectivement pas utiliser la formule ln(1+h)=... vu que, lorsque x est proche de 0, 2+x+x²/2+x².epsilon(x) n'est pas proche de 1 mais de 2.
Deux solutions (au moins) :
1) On jette à la poubelle la formule ln(1+h)=... qui est le D.L. du ln au voisinage de 1 et on cherche le D.L. du ln au voisinage de 2 à l'aide de la formule f(a+h)=f(a)+f'(a).h+f''(a)/2.h²+h²epsilon(h) : c'est pas super long.
2) On se rapelle que le ln vérifie la formule ln(a*b)=ln(a)+ln(b) donc que, si par exemple une certaine quantité A est proche de 2, on peut écrire ln(A)=ln(2)+ln(A/2) et qu'évidement A/2 est maintenant proche de 1 donc on peut appliquer ln(1+h)=...
Idéalement, tu peut faire les deux et vérifier que l'on trouve la même chose.
Edit : comme je faisait autre chose en même temps, j'ai mis 3 plombes à taper et n'est lu aucune des réponses çi dessus...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 20 Sep 2010, 19:55
C'est O.K.sarah79 a écrit:Donc f(x)=ln2+0.5(x+x²/)-1/8(x+x²/2)+o((x+x²/2)²) c'est ça?
Il faudrait ensuite expliquer pourquoi o((x+x²/2)²) est en fait un o(x²) et ce sera "tout bon"...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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