Développements limités

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sarah79
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développements limités

par sarah79 » 15 Sep 2010, 18:32

Bonjour,
je suis en L2 de mathématiques et je rencontre quelques difficultés. Voici l'énoncé :
Déterminer si elle existe la limite quand x tend vers 0 de la fonction suivante :
f(x)= [ln(cos(3x))] / sin²(2x)

on sait que :

cos x équivaut a 1 au voisinage de 0.

J'ai posé X=3x et lim cos(3x) qd x tend vers 0=lim cos(X) qd x tend vers 0 =1

donc cos(3x) équivaut à un au voisinage de 0.

Je bloque avec le "ln" après, je ne sait pas comment faire?

J'ai aussi montré que sin(2x)équivaut à 2x au vois. de 0 mais je ne sais pas comment faire pour sin²(2x)?

Pouvez vous m'aider svp?



Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 15 Sep 2010, 19:06

Bonjour,

Comme l'indique ton titre, il faut faire un développement limité, dans un premier temps de cos(x) et ensuite du ln.

sarah79
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par sarah79 » 15 Sep 2010, 19:07

c'est a dire?

Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 15 Sep 2010, 19:11

Si tu prends un simple équivalent, tu as cos x équivalent à 1 et tu te retrouves bloquée pour trouver un équivalent de ln(cosx).

Dans ce genre de cas, on écrit le développement limité.
Quel est le développement limité en 0 de cos(x) ?

sarah79
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par sarah79 » 15 Sep 2010, 19:19

cox x = 1-(x²/4)+x^4/16+ox^n

Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 15 Sep 2010, 19:48

Non ce n'est pas ça.
On peut s'arrêter à l'ordre 2

sarah79
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par sarah79 » 15 Sep 2010, 19:53

pourquoi?
je ne comprend pas. on a vu dans le cours que ln(1+x) équivaut a x au voisinage de 0.donc je suppose qu'il faut trouvé quelque chose de la forme ln(1+...)
Mais la moi j'ai ln(cos(3x))?
jsais pas comment faire, on peut pas dire que cos(3x)=cos(2x+x) et développé comme ça?

Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 15 Sep 2010, 20:31

Non le DL de cos x donne bien 1+ ... donc avec ca on peut ensuite faire un DL du ln.
Mais je répète : ton DL de cos x n'est pas bon.

sarah79
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par sarah79 » 15 Sep 2010, 20:45

DONC cos x =1-x²/4 c'est ça?

sarah79
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par sarah79 » 15 Sep 2010, 20:58

et après je fais comment pour passer de cos x à cos(3x)?

girdav
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par girdav » 15 Sep 2010, 22:01

Le changement de variable est licite, puis tu fais un dl de .

sarah79
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par sarah79 » 15 Sep 2010, 22:27

girdav a écrit:Le changement de variable est licite, puis tu fais un dl de .



Donc je peux écrire :
sachant que cos x =1-x²/4, on pose X=3x et on a cos X=1-X²/4 et donc on a :
ln(cos(3x))= ln (1-X²/4) et on trouve ln(1-X²/4) equivaut à -X²/4 au voisinage de 0. C'est ça?

girdav
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par girdav » 15 Sep 2010, 22:57

Attention, il ne faut pas oublier le petit o. Après, on utilise la composition des développement limités. Il faut faire attention à la puissance dans le petit o.

Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 16 Sep 2010, 18:59

Encore une fois, ton développement limité de cos(x) n'est pas bon.
cos(x) = 1 - x²/2 + o(x²)

 

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