Développements limités (MPSI)

[Anonyme]

bonjour ma question porte sur le DL de tan(x)

pour le faire j'utilise la méthode de la dérivée
je sais que tan(x)=x +o(x) or (tan(x))'=1+tan(x)^2
j'obtiens après remplacement et intégration
tan(x)=x+x^3/3 + o(x^3)
je réitère cette méthode et j'obtiens que
tan(x)=x + x^3/3 + 2x^5/15 + x^7/63 + o(x^7)
or en réalité le DL7 en 0 est
tan(x)=x + x^3/3 + 2x^5/15 + 11x^7/315 + o(x^7)
ce développement je ne l'obtiens qu'en redérivant la mauvaise expression et
en la réinjectant dans (tan(x))' puis en réintégrant
Pourquoi suis-je obligé de passer par cette étape et pourquoi ce premier DL7
de tan(x) est il faux
a mon point de vue c'est parce que je ne considère pas toutes les puissances
dans la mesure ou mon dévloppement initial est trop faible mais dans ce cas
comment savoir jusqu'à quelle puissance mon dévelloppement est il valable
merci

[Anonyme]

Gauss a écrit:
> bonjour ma question porte sur le DL de tan(x)
>
> pour le faire j'utilise la méthode de la dérivée
> je sais que tan(x)=x +o(x) or (tan(x))'=1+tan(x)^2
> j'obtiens après remplacement et intégration
> tan(x)=x+x^3/3 + o(x^3)
> je réitère cette méthode et j'obtiens que
> tan(x)=x + x^3/3 + 2x^5/15 + x^7/63 + o(x^7)
> or en réalité le DL7 en 0 est
> tan(x)=x + x^3/3 + 2x^5/15 + 11x^7/315 + o(x^7)
> ce développement je ne l'obtiens qu'en redérivant la mauvaise expression et
> en la réinjectant dans (tan(x))' puis en réintégrant
> Pourquoi suis-je obligé de passer par cette étape et pourquoi ce premier DL7
> de tan(x) est il faux
> a mon point de vue c'est parce que je ne considère pas toutes les puissances
> dans la mesure ou mon dévloppement initial est trop faible mais dans ce cas
> comment savoir jusqu'à quelle puissance mon dévelloppement est il valable
> merci
>
>

Je pense que tu n'as pas assuré ta mise au carré ... (x+x^3 +2x^5/15 +
o(x^5) )^2 comporte en x^6 le coefficiant (4/15+1/9 = 17/45 ce qui donne
après intégration un coefficiant 17/315).

Amha c'est aussi simple d'écrire tan=sin/cos.

--
albert

[Anonyme]

> Amha c'est aussi simple d'écrire tan=sin/cos.

Ben, moi je trouve que la methode a.j. est tres belle,
que meme je m'en veux de pas y avoir penser tout seul :-)
Ceci dit, la, on parle d'esthetisque plus que de maths :-)
Amities,
Olivier