Développement Limité (calcul de limites)

[Math Paces 81]

Bonjour, je suis étudiant en 1ère année de médecine et niveau maths les explication de cours ne sont pas top..
Nous étudions les développements limités d'ordre 1 mais je n'arrive pas a comprendre comment, grâce a celui-ci, on peut trouver la limite d'une fonction qui est une forme indéterminé.
Exemple: ce qcm ,
A propos de développements limités et de dérivées, indiquer si les réponses suivantes sont vrai ou fausses :
-Racine carré de (1+x) = 1 + x/2 + o(x), donc limite quand x tend vers 0 de (racine carré de (1+x) - 1)/x = 1/2.
Si quelqu'un pouvais m'aider a faire le liens entre le début du qcm et la fin s'il vous plait...
merci d'avance !

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

As tu compris ce qu'était dans l'expression ?

[Math Paces 81]

Non, dans le cours on nous donne la formule comme ceci :
f(xo+h)=f(xo) + a.h + h.;)(h)
et ensuite : le terme h.;)(h) est un "infiniment petit d'ordre 1". Il est négligeable devant h donc on note h.;)(h)=o(h).

[Arnaud-29-31]

Oui,

On peut écrire avec représentant quelque chose qui tend vers 0 quand h tend vers 0.
peut aussi s'écrire qui signifie quelque chose négligeable devant h quand h tend vers 0.

Pour trouver la limite, on remplacera par son DL.

[Luc]

Non, dans le cours on nous donne la formule comme ceci :
f(xo+h)=f(xo) + a.h + h.(h)
et ensuite : le terme h.(h) est un "infiniment petit d'ordre 1". Il est négligeable devant h donc on note h.(h)=o(h).

Salut,

la formule du cours est bonne. De plus, a vaut f'(xo).
Ensuite, tu as répondu à la question : le o(h) est une fonction qui est négligeable devant h quand h tend vers 0. Ca veut dire que le o(h) tend vers 0 plus vite que h quand h tend vers 0. C'est un "infiniment petit d'ordre strictement supérieur à 1".

Donc pour le qcm, en écrivant le o (x) comme une fonction de x, tu devrais obtenir ta réponse (c'est VRAI).

[Math Paces 81]

D'accord merci, et si on nous avez seulement demandé "quelle est la limite quand x tend vers 0 de (racine carré de (1+x) - 1)/x, comment sait on qu'il faut appliquer le développement limité a racine carré de (1+x) ?

[Arnaud-29-31]

A la vue de la forme de la limite, on voit ici de suite avec l'habitude que le DL en 0 de donne de suite la limite. Utiliser les DL c'est un peu la méthode systématique pour le calcul de limites.

[Math Paces 81]

Ok je vois, le problème c'est qu'on ne nous donne aucun exercice donc pour comprendre les formules qu'on nous balance comme ça c'est pas évident... En tous cas merci beaucoup.

[Luc]

Ok je vois, le problème c'est qu'on ne nous donne aucun exercice donc pour comprendre les formules qu'on nous balance comme ça c'est pas évident... En tous cas merci beaucoup.

En fait trouver la limite d'une expression c'est la même chose que faire un DL à l'ordre 0 de cette expression.

[Arnaud-29-31]

Si tu te souviens de l'expression de la dérivée vue en première : , on peut donc écrire que qui s'écrit aussi ... la formule n'est donc pas nouvelle, il s'agit juste d'une manière de l'utiliser.

[Math Paces 81]

Ah oui d'accord , Merci a vous.

[chan79]

Bonjour, je suis étudiant en 1ère année de médecine et niveau maths les explication de cours ne sont pas top..
Nous étudions les développements limités d'ordre 1 mais je n'arrive pas a comprendre comment, grâce a celui-ci, on peut trouver la limite d'une fonction qui est une forme indéterminé.
Exemple: ce qcm ,
A propos de développements limités et de dérivées, indiquer si les réponses suivantes sont vrai ou fausses :
-Racine carré de (1+x) = 1 + x/2 + o(x), donc limite quand x tend vers 0 de (racine carré de (1+x) - 1)/x = 1/2.
Si quelqu'un pouvais m'aider a faire le liens entre le début du qcm et la fin s'il vous plait...
merci d'avance !

salut
=1+ +o(x)



or tend vers 0 quand x tend vers 0
la limite cherchée est 1/2

[celine29]

Ensuite, tu as répondu à la question : le o(h) est une fonction qui est négligeable devant h quand h tend vers 0. Ca veut dire que le o(h) tend vers 0 plus vite que h quand h tend vers 0. C'est un "infiniment petit d'ordre strictement supérieur à 1".
VRAI).

Cela signifie donc que o(h) est un "infiniment petit d'ordre 2" et non d'ordre 1, n'est-ce pas ?

[Luc]

Cela signifie donc que o(h) est un "infiniment petit d'ordre 2" et non d'ordre 1, n'est-ce pas ?

Bonjour,

pas forcément, car l'ordre n'est pas nécessairement un nombre entier.
Par exemple, est un o(h) mais n'est pas un infiniment petit d'ordre 2. C'est un infiniment petit d'ordre 3/2.
Plus subtilement, il y a des fonctions qui ne sont pas des pour tout > 0, mais qui sont des o(h). Par exemple,

[celine29]

Bonjour,

pas forcément, car l'ordre n'est pas nécessairement un nombre entier.
Par exemple, est un o(h) mais n'est pas un infiniment petit d'ordre 2. C'est un infiniment petit d'ordre 3/2.
Plus subtilement, il y a des fonctions qui ne sont pas des pour tout > 0, mais qui sont des o(h). Par exemple,

Bonjour,

Je ne suis pas sure de bien comprendre.
Finalement, dans la formule generale du DL d'ordre 1 au voisinage de x:


ou est un infiniment petit de quel ordre ?

[Luc]

Bonjour,

Je ne suis pas sure de bien comprendre.
Finalement, dans la formule generale du DL d'ordre 1 au voisinage de x:


ou est un infiniment petit de quel ordre ?

C'est un infiniment petit d'ordre strictement supérieur à 1. On ne peut pas dire mieux a priori.