Developpement asymptotique

[roni]

Salut, pouvez vous me donner une piste svp,
Je cherche un developpement asymptotique à +inf des fonctions :


Merci d'avance

[roni]

Quelqu'un peut m'aider svp?

[Ben314]

Salut,
Pour la première, je vois que des méthodes passablement bourrines alors que je pense qu'il y a plus simple.

Pour a>1 fixé et x>a, tu peut encadrer assez finement ln(t) pour t entre 1+1/x et 1+1/a, par exemple en prenant comme majorant la tangente en t=0 à la courbe comme majorant et la corde entre (1,0) et (a,ln(1+1/a)) comme minorant. En intégrant cet encadrement, tu devrait en déduire un encadrement de assez précis pour avoir un équivalent de lorsque x tend vers l'infini.

Idem pour l'autre coté où je pense que tu as intérêt à raisonner pour a<1 fixé puis encadrer ln(t) pour t entre ax² et x² et de nouveau intégrer l'encadrement obtenu. Je pense que de nouveau tu en déduit un équivalent lorsque x tend vers l'infini.
Et comme à mon avis ces deux équivalents sont de "nature différentes", tu n'aura plus qu'à garder le plus grand des deux.

[Ben314]

Le deuxième me semble bien plus élémentaire : tu factorise évidement le x dans le x-t vu qu'il représente "la parie importante (surtout que t reste dans un intervalle borné), tu le sort du log du fait que ln(ab)=ln(a)+ln(b)et enfin tu le factorise au numérateur pour pouvoir le sortir de l'intégrale.
Idem au dénominateur où tu t'empresses de factoriser x² sous la racine, puis le sortir de la racine et même de l'intégrale.
Arrivé à ce point, la limite lorsque x->oo de l'intégrale qu'il te reste me semble aisée à calculer à l'aide du th. de convergence dominée (ou même via la convergence uniforme)