Détermination du signe d'une fonction ayant 1 paramètre (troisième degré)

[mina088]

bonjour à tous,

je dois étudier le signe de 2-3ax+3ax^3, sachant que :
x appartient à [0,1[
a appartient à ]2/3, +inf[

j'ai essayé de dériver plusieurs fois, de mettre en facteur le terme de plus degré, mais je n'y arrive pas...

Auriez vous une indication à me donner ??
Merci d'avance !

[Ericovitchi]

Étudies tranquillement la fonction 2-3ax+3ax^3 en la dérivant, en étudiant le signe de la dérivée puis les variations de la fonction. tu vas en déduire son signe.

[mina088]

j'ai toujours un problème...
en réalité, j'ai une fonction g : [0, 1[ -> R
x -> ln((1+x)/(1-x)) -2x-ax^3
dont je dois étudier les variations

le signe de la dérivée est celui de 2-3ax+3ax^3

en suivant votre conseil, j'ai redérivé cette expression.
j'obtiens une seule racine dans [0, 1[ (j'en ai déduit que a appartient à]2/3, 3]
j'ai donc le signe de cette dérivée seconde.
mais je n'arrive pas à remonter au signe de 2-3ax+3ax^3

[Ericovitchi]

Pourquoi le signe de la dérivée est le signe de la dérivée est celui de 2-3ax+3ax^3 ?
par exemple tu n'aurais pas oublié de dériver ax^3 ? ça fait 3ax² et pas 3ax^3 par exemple
et ton dénominateur de dérivée, il n'est pas toujours du même signe.

tu devrais d'abord recalculer la dérivée et nous dire ce que tu trouves

[mina088]

je suis vraiment trop bête...j'ai écrit 3 à la place de 2 pour l'exposant...
bref, je trouve
pour tt x de [1, 1[ g'(x) = x²(2-3a-3ax²)/(1-x²)

[Ericovitchi]

oui à un signe près je crois
x² (-3 a x²+3 a -2)/(x²-1)

Bon et bien le signe de cette expression n'est pas difficile à étudier, il faut faire un tableau de signes.

[mina088]

oui, oui, il y a bien un signe +.

x² est positif et 1-x² aussi.
j'étudie le signe de 3ax²-3a+2

j'ai deux racines dont une est négative. il me reste x1 = (-2rac(9a²+6a))/3a
(en espérant qu'il n'y ait aucune faute de calcul)

il faut bien que x1 soit inférieur 1, pour pouvoir faire mon tableau de signes ?

[Ericovitchi]

je ne comprends pas bien tes racines de -3 a x²+3 a -2 = 0
x²=(3a-2)/3a --> x²=1-2/(3a)

ça ne ressemble pas à ton x1 ça ?
c'est pour ça qu'ils te disent dans l'énoncé que a>2/3 c'est parce que ça donne que -2/3a est positif x = +- rac(1-2/(3a))

Bref le polynôme est du signe de son terme de plus haut degré (donc positif) à l’extérieur des racines. Mais n'oublies pas le dénominateur.