Détermination du rang avec polynôme caractéristique

[Gyouji23]

Bonjour,

J'ai une application linéaire de M2x3 -> M2x3

et je connais son polynôme caractéristique:

Comment puis-je trouver le rang de l'application en fonction de alpha?


Merci beaucoup

[Ben314]

Salut,
Le "rang" d'une application linéaire u:E->E, c'est la dimension de l'image Im(u)=u(E) qui est égal à dim(E)-dim(ker(u)) donc il suffit de trouver la dimension du noyau ker(u) de u qui est aussi le sous espace propre associé à la valeur propre 0 (si 0 est valeur propre...)

Connaissant le polynôme caractéristique de u, que peut-tu dire de la dimension du sous espace propre associé à une valeur propre donnée ?

[zygomatique]

salut

donc

mais bon l'énoncé n'est pas clair : c'est quoi M2*3 ?

[Ben314]

c'est l'espace vectoriel (de dimension 6) des matrices 2x3 à coefficient dans

[Kolis]

bonsoir !
Et c'est quoi le polynôme caractéristique d'une matrice qui n'est pas carrée ?

[Ben314]

bonsoir !
Et c'est quoi le polynôme caractéristique d'une matrice qui n'est pas carrée ?

Relit l'énoncé....
Personne ne parle du polynôme caractéristique d'une matrice mais de celui d'un endomorphisme donc d'un truc qui pourrait être donné sous la forme

ou bien sous la forme avec et fixées.
ou bien... sous une autre forme...

EDIT : a titre de "punition", cogite sur ces questions :
- Est-ce que tout endomorphisme est de la forme avec et ?
- Lorsque c'est le cas, les matrices A et B sont elles uniques ? Peut-on obtenir simplement le polynôme caractéristique de u partant des matrices A et B ?
- Si le résultat est faux, peut-on caractériser simplement les endomorphismes u pouvant s'écrire sous la forme en question ?

[Kolis]

Merci je ferais attention la prochaine fois !

[Gyouji23]

Salut,
Le "rang" d'une application linéaire u:E->E, c'est la dimension de l'image Im(u)=u(E) qui est égal à dim(E)-dim(ker(u)) donc il suffit de trouver la dimension du noyau ker(u) de u qui est aussi le sous espace propre associé à la valeur propre 0 (si 0 est valeur propre...)

Connaissant le polynôme caractéristique de u, que peut-tu dire de la dimension du sous espace propre associé à une valeur propre donnée ?

Merci beaucoup,

Je peux donc dire que 0 est valeur propre en écrivant mon polynôme comme et voir que la multiplicité algébrique de 0 est 1 donc que la multiplicité géométrique de 0 est aussi 1.
Comme la multiplicité géométrique de 0 = dim(E0) (E0 l'espace propre associé à 0), dim(Ker(u)) = 1 et donc en utilisant dim(M2x3) = dim(Ker(u)) + rang(u) je conclus que rang(u) = 5.

C'est juste?

[Ben314]

Oui, c'est bien ça.
A la limite, tu peut faire remarquer que, si 0 était racine d'ordre R du polynôme caractéristique, tout ce qu'on pourrait dire, c'est que la dimension de ker(u) est comprise entre 1 et R (inclus) mais qu'on ne pourrait rien dire plus à la seule vue du polynôme caractéristique.