Détermination de la racine carrée

[capitaine nuggets]

Bonjour, je connaissais la détermination principale continue de la racine carrée sur (elle vérifie ). Elle est donnée par :

[CENTER][/CENTER]

où , et .
Mais qu'en est-il de la détermination principale continue de la racine carrée sur ? Vérifie-t-elle ?
A-t-on la même formule et les même conditions que à l'exception près que ?

Merci d'avance :+++:

[mathelot]

n'est pas définie mais

[Doraki]

Je suis pas sur que la détermination principale désigne autre chose que la fonction que tu as décrite sur C \ R-

[capitaine nuggets]

Salut !

Merci de participer !

n'est pas définie mais

Je me rend compte que j'ai écris des bêtises :

détermination principale de la fonction sur :
[CENTER][/CENTER]
avec .

détermination principale de la fonction sur :
[CENTER][/CENTER]
avec

(d'après ce que tu m'as dit).

Je noterais à présent et respectivement la détermination principale de la fonction sur et .

D'après ce que j'ai dit : et d'après ce que tu as dit : .
Mais d'où viennent ces deux égalités ?
J'ai du mal à comprendre comment (ou avec quelles conventions) on défini ces deux racines carrées.
J'ai d'ailleurs du mal à comprendre pourquoi ces déterminations se font sur et . Cela vient-il de la détermination du logarithme népérien ou de l'argument ?

[mathelot]

j'espère qu'à plusieurs , on va y arriver!!

Les difficultés viennent de l'argument et pas du module.
Question module



en ce qui concerne l'argument:

le problème est le suivant, la quantité Arg(z) est multivaluée,
sur R+ , elle vaut 0 et vaut également

Pour définir une fonction , on ôte R+ du domaine de définition,
donc
est un ouvert étoilé par rapport à z_0=-1
pour tout z de Oméga, le segment de droite [-1,z] est inclus dans

Les ensembles du plan étoilés sont simplement connexes.


On part de qu'on différentie



Cette différentielle est fermée. Le cours dit que une forme différentiellee fermée
,définie sur un ouvert simplement connexe, est exacte; elle admet une primitive

(1)

étant la paramétrisation du segment de droite [-1;z]

donc nous avons une (vraie) fonction
Arg(z) définie sur à valeur dans définie par (1).

On pose alors (2)

si


j'ai un peu oublié.. si tu veux avoir les idées claires, consulte
"théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes"
de H.Cartan chez Hermann qui date de 1961

L'idée, c'est qu'en situant l'ensemble de définition sur une surface de Riemann
(le plan s'enroulant au tour de l'origine comme ces descentes en hélices de parking à plusieurs étages)
on a sans doute un revêtement du plan épointé et un domaine où la fonction Arg(z))
cesse d'être multi-valuée)

[Ben314]

Salut,
Concernant les fonctions racines carrées sur C, on peut absolument tout faire "à la main" et, si on ne maitrise pas super bien le problème, ça peut éclairer :
Si tu donne un complexe Z et que tu cherche z tel que z²=Z, tu constate qu'il y a systématiquement deux solutions opposées l'une de l'autre (sauf évidement si Z=0).
On peut même le voir sans utiliser la fonction argument en écrivant Z=a+ib et en cherchant z sous la forme z=x+iy.
Si on veut absolument définir une fonction racine carrée (ce qui n'est pas forcément malin), il faut, par définition de la notion de fonction choisir UNE des deux solution de l'équation z²=Z comme étant "LA" racine carrée de Z.
Jusque là, c'est quasiment la même chose que dans R où x²=X admet aussi 2 solutions opposées lorsque X>0.
Dans R, on convient de définir "LA" racine carrée de X comme étant LA solution positive de l'équation.
La problème, c'est que dans C, il n'y a pas de relation d'ordre compatible avec la structure de corps donc on ne peut pas faire la même chose, mais on peut tenter de faire un truc qui ressemble à ça.

Par exemple, il est clair que seul les imaginaires purs ont un carré qui est un réel négatif, donc que si on prend Z non réel négatif alors les deux solutions (opposées) de z²=Z auront une partie réelle non nulle donc une et une seule des deux aura sa partie réelle strictement positive et on peut par exemple décider que c'est cette solution là que l'on va définir comme "LA" racine carrée de Z. En fait, c'est cette solution là qu'on appelle souvent "la détermination principale", mais elle n'a absolument rien de particulier par rapport à d'autres déterminations.
On pourrait parfaitement définir la fonction racine carré sur C tout entier en convenant, dans le cas où Z est réel négatif, de prendre comme "LA" racine carrée de Z l'unique solution de z²=Z de partie imaginaire positive. On alors une fonction racine carrée parfaitement définie sur C tout entier, mais le problème, c'est que cette fonction n'est pas continue : "LA" racine carrée de -1 est, par définition, +i (et pas -i), mais "LA" racine carrée de -1-epsilon.i (epsilon très petit positif) est, par définition -i+delta (delta très petit positif) vu que l'autre racine i-delta a sa partie réelle <0.
Bilan : très souvent (mais pas toujours...) on convient de définir "la détermination principale de la racine carrée" sur C privé de R- de façon a avoir une fonction continue sur son domaine de définition.

Il faut bien comprendre que le fait d'avoir choisi comme étant "LA" racine carré de Z la solution de z²=Z dont la partie réelle est positive est totalement arbitraire et que tout autre choix conviendrait aussi. On pourrait par exemple prendre la solution de partie imaginaire positive et, dans ce cas, il y aurait ambiguïté lorsque les solutions de z²=Z ont leur partie imaginaire nulle, c'est à dire en fait lorsque Z est réel positif. Comme avec la convention précédente, dans ce cas, soit on choisi de définir une valeur pour "LA" racine de Z ce qui définie une fonction racine carrée sur C tout entier, mais elle n'est pas continue, soit on choisi de ne définiri la fonction que sur C privé de R+ de façon a avoir une fonction continue.
Il y a (évidement) des tas d'autres fonction "racine carrées" plausibles vu que, pour chaque complexe Z, on a deux choix possible pour "SA" racine carrée, mais on peut montrer (très facile avec les bons outils) que quelque soit les choix effectués, si on définie une fonction racine carrée sur C tout entier, elle ne pourra pas être continue.

[mathelot]

le souci est de définir une fonction holomorphe dans l'ouvert simplement connexe


a priori , on ne voit pas l'holomorphie dans les formules (1) et (2)

[paquito]

On est obligé de définir de C dans P, P étant défini par:et ; P n'est ni ouvert ni fermé (il y a bien sûr une infinité de P possibles).
tout commence bien:
, lorsque , soit ; on travaille bien sûr avec la mesure principale!

On a aussi .

De plus, est holomorphe sur le disque de centre 1 et de rayon 1.

Le problème commence avec le calcul: on ad'où

alors que


;

ou }

Donc c'est complètement ingérable!

[capitaine nuggets]

merci à tous pour vos explications, je pense avoir mieux cerner la question :+++: