Détermination d'un polynôme caractéristique

[ArtyB]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de mon raisonnement, est-ce que cela vous semble logique et pertinent ? Et surtout correct ?

On considère la matrice :

On se propose de déterminer le polynôme caractéristique de A sans faire de calculs directs de déterminants ou de rang ou de résolution de système.
1) Calculer
2) Donner un polynôme réel Q de degré 2 tel que
3) Montrer que admet au plus deux racines réelles distinctes
4) Expliquer pourquoi est scindé dans
5) Déterminer
6) Quel résultat du cours vous permet de dire immédiatement, sans calcul supplémentaires, que A est diagonalisables ?

1) On a
2) On a
3) Les espaces propres sont et dont les dimensions sont respectivement 1 et 1, on en déduit que admet au plus deux racines.
Comme Q est un polynôme qui annule A alors d'après le théorème de Cayley Hamilton c'est un polynôme caractéristique de A.
On peut déterminer, puisque la trace de A est la somme des valeurs propres de A, qui sont aussi les racines de et donc on a :

[bolza]

Bonjour,

Le polynôme caractéristique d'une matrice de taille 4x4 est forcément de degré 4...
Ce que tu as trouvé ressemble plus au polynôme minimal de A.
Ce que dit Caley-Hamilton c'est que A annule son polynôme charactéristique,
cela ne signifie pas que tout polynôme annulateur de A est le polynôme caractéristique de A, attention !

Le polynôme que tu as trouvé te donne les valeurs propres de la matrice A, il ne te reste plus qu'a déterminer
leur multiplicité ...

[zygomatique]

salut

il me semble que le degré du polynome caractéristique d'une matrice carrée d'ordre n est n ....

[Ben314]

Salut,
1) je pense que c'est bon vu ta réponse au 2.

2), ça va pas au niveau de la rédaction : soit tu écrit que mais c'est pas vraiment ça qui est demandé, soit tu écrit que qui est bien un polynôme à coefficients réels (alors que ton truc, c'est un polynôme "à coefficient matriciel" qui est pas trop utilisé...)

3) Qu'est ce qui te fait penser que les deux s.e.v. propres sont de dimension 1 ?
La suite, c'est un peu n'importe quoi, en particulier
- Il faudrait revoir ce que dit le théorème de Cayley-Hamilton vu qu'il ne dit absolument pas qu'un polynôme qui annule la matrice est forcément le polynôme caractéristique (va (re)jeter un coup d'œil sur la définition du polynôme caractéristique : il est unique)
- Ça me ferait assez mal au fesse que le polynôme caractéristique d'une matrice 4x4 soit de degré 2

Sinon, une question : as-tu vu ce qu'est le "polynôme minimal" d'un endomorphisme (et/ou d'une matrice) : là, ça tourne autour du pot et ça serait pratique d'employer le vocabulaire (et les théorèmes) adaptés...

[ArtyB]

En effet mea culpa pour le degré du polynôme caractéristique de A et la non réciprocité de Cayley Hamilton.

Pour la multiplicité des racines, c'est la dimension des espaces propres associés, dimension qui est de 2 pour chaque racine et non de 1 (je ne sais plus comment j'étais tombé sur 1 mais c'était faux). En effet

@Ben314: Merci pour la question 2 ma formulation était en effet très mauvaise ! Pour la question 3 c'est en effet 2 en calculant la dimension.
J'ai vu ce qu'était le polynôme minimal, et donc en fait ici Q est le polynôme minimal de A donc Q divise le polynôme caractéristique de A.

[Ben314]

Pour la dimension des s.e.v. propre, c'est mieux, mais, à moins que tu ait utilisé des informations supplémentaires (tirées de la matrice...) je ne vois pas bien comment tu as pu arriver à ce résultat.

Peut tu détailler le raisonnement qui t'a conduit à ces deux 2 comme dimension des s.e.v. propre pour voir s'il c'est correct ?

J'ai vu ce qu'était le polynôme minimal, et donc en fait ici Q est le polynôme minimal de A donc Q divise le polynôme caractéristique de A.

Oui, mais il y a une (petite) justification à donner vu que le fait que Q(A)=0 ne prouve pas que Q est le polynôme minimal mais seulement que ...
Ensuite, effectivement, le polynôme minimal Q divise le polynôme caractéristique P_A (th. de Cayley-Hamilton) ce qui te dit déjà que P_A(X)=(X-1)(X-2)( ??? ).
Mais en fait il y a un autre lien bien connu entre polynôme minimal et polynôme caractéristique (ici, par exemple, est-il possible que le polynôme caractéristique soit P_A(X)=(X-1)²(X-2)(X-3) ?)

[ArtyB]

Concernant la dimension des espaces propres:
On a:

On remarque que et que
donc
Et on suit un raisonnement similaire pour l'autre racine:

avec
et
d'où

Conditions pour que Q soit le polynôme minimal de A:
Q annule A et tout polynôme annulant A est un multiple de Q, ce qui est bien le cas ici puisqu'il n'existe pas de polynôme plus petit annulant A.

il y a un autre lien bien connu entre polynôme minimal et polynôme caractéristique

Pour les deux polynômes les racines sont les valeurs propres de A ? (Je n'ai rien dans mon cours sur un quelconque lien mais je pense que mon affirmation a du sens non ?)

[Ben314]

- Pour les dimension des deux s.e.v., c'est correct, mais à mon sens (c'est discutable), ton raisonnement utilisant des combinaisons linéaires de colonnes est un peu "limite" par rapport à la directive de l'exercice demandant à ce que "On se propose de déterminer le polynôme caractéristique de A sans faire de calculs directs de déterminants ou de rang ou de résolution de système."

- Pour le polynôme minimal, perso., j'aurais écrit "en toutes lettres" qu'aucun des diviseurs stricts de Q, à savoir 1, X-1 et X-2 n'anulait la matrice A.

- Ensuite effectivement, les racines du polynôme minimal sont les même que celles du polynôme caractéristique, et de façon un peu plus générale, les facteurs irréductibles qui apparaissent dans le polynôme minimal sont les mêmes que ceux du polynôme caractéristique : seul les exposants de ces facteurs sont éventuellement différents. A mon avis, ça doit être dans ton cours (au minimum le cas des racines qui correspond aux facteurs irréductibles de degrés 1).
Donc par exemple ici, partant du fait que le polynôme minimal est (X-2)(X+2), sans aucun calcul supplémentaire tu déduit que le polynôme caractéristique est de la forme où sont des entiers au moins égaux à 1 et de somme 4 (donc il n'y a que 3 possibilité).
Par contre, sans utiliser d'information supplémentaire, tu ne peut pas déterminer la valeur de a et donc il faut aller "piocher" une info de plus dans la matrice A pour conclure. On peut, comme tu le fait, déterminer les rang de A-2Id et de A+2Id (encore qu'un des deux suffit pour conclure vu qu'on sait que ).
Mais en fait, on peut même s'en sortir avec bien moins de calculs et je pense que c'est dans la "philosophie" de l'exercice (voir l'entête)
Que peut on "lire" dans la matrice qui permet de conclure ?

[ArtyB]

Merci de ta réponse Ben314 !

-Pour la dimension des espaces propres, je me suis en effet demandé si ça allait à l'encontre de cette directive mais c'était la seule piste que j'avais.

-Oui en effet c'est plus clair et précis.

-(Il n'y a vraiment rien là dessus dans mon cours, en revanche j'ai découvert un manuel d'Algèbre Linéaire extraordinaire, celui de Joseph Grifone et ça y est)
Je ne sais pas trop ce que je dois chercher dans la matrice A, il y a tellement de choses à dire dessus: la somme des éléments d'une colonne ou d'une ligne s'annule quelle que soit la ligne ou la colonne sauf la dernière ligne et la dernière colonne. Les éléments de la première diagonale sont deux fois 1, -1, que la somme du produit des éléments des diagonales est nulle etc

[Ben314]

Ça m'étonne un peu que tu ait un cours parlant de polynôme minimal sans qu'il y soit dit (au minimum) que ce dernier a les même racines que le polynôme caractéristique, mais bon...

Sinon, a mon sens, le plus rapide pour conclure (Rappel : seul 3 cas sont envisageables...), c'est de regarder la trace de la matrice A...

[ArtyB]

Oui, je sais, j'aurais été étonné il y a un an aussi mais maintenant avec les cours du CNED plus rien ne m'étonne.
(pour l'anecdote ils nous avaient donné un formulaire trigonométrique avec des sinus à la place des cosinus, des signes moins qui s'étaient envolés et posés autre part etc et les devoirs, exercices et cours n'ont pas souvent grand chose en commun).

La trace de A est la somme de ses valeurs propres donc on déduit leur double multiplicité et le fait que a=b=2, right ?

[Ben314]

Oui, c'est ça : si le polynôme caractéristique est alors la trace est et là, comme la trace s'avère être nulle, c'est que

[ArtyB]

Merci beaucoup de ton aide Ben314 (ou Ben tout simplement ?).