Determination Polynome

[Apocalipse]

Bonjours à tous, voilà j'ai un problème ^^, voila tout d'abord l'énoncé de mon exercice :

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Existe-t-il une fonction polynomiale P(x) de degrés 4 telle que :
P(1) = 1 , P(2) = -1 , P(3) = -59 , P(-1) = 5 , P(-2) = -29

Je demande pas la solution à mon exercie étant pour un devoir maison mais je ne sais pas du tout comment le résoudre (sachant que la série d'exercice est sur le thème des matrices), alors j'aurais voulut savoir si quelqu'un pouvais me donner les clefs permettant de le résoudre

Par avance merci,
Apocalipse.

[girdav]

Bonjour,
la donnée d'un polynôme de degré 4 est celle de 5 coefficients. On peut donc chercher un système à résoudre à 5 inconnues et étudier la matrice en question.

[Nightmare]

Salut,

quelle est la forme d'un polynôme? Sert toi de ça !

[Apocalipse]

en fait, il me suffit de résoudre la matrice ci-dessous ??

Code: Tout sélectionner

1       1     1    1      1     1
16     8     4     2     1    -1
81    27     9    3      1    -59
1      -1     1    -1     1     5
16     -8    4     -2    1     -29

[Ben314]

Oui, c'est bien ça (modulo de mettre des grandes parenthèses autour et de mettre des "pointillés" pour séparer les variables des constantes dans ton truc.
En fait, on ne te demande pas vraiment de résoudre ce système de 5 équations à 5 inconnues, mais seulement de déterminer s'il a une solution.
Cela devrait t'inciter à seulement calculer le ... de la matrice.

Edit : si ça t'amuse, il y a aussi une solution "bébète" qui n'utilise pas l'algèbre linéaire mais demande un peu d'imagination, mais ce n'est pas celle attendue vu le titre de ta feuille d'exercice.

[Apocalipse]

en fait le prof nous a rajouter comme question de donner la fonction polynomiale si elle existé donc il faut bel et bien que je calcule ^^ en attendant une réponse j'ai résolu la matrice et j'obtiens comme polynôme : P(x) = -2(x^4) + 3 (x^3) + 4 (x^2) - 5x + 1

sinon, en effet ma matière étant nommé "algèbre linéaire" je pense que c'est ce système qu'il me faut utiliser, mais par curiosité, Ben314 pourrais-tu me donner l'autre solution ? ^^

[Ben314]

Bon, déjà, effectivement, si on te demande le polynôme, il faut résoudre le système (sinon, tu aurait pu te contenter de chercher le déterminant de ta matrice qui est... trés particulière : ça s'appelle une matrice de Vandermonde).
Ensuite, j'ai un peu la flemme de vérifier ton résultat, mais c'est super simple à vérifier vu qu'il suffit de calculer P(1), P(2),...

Concernant l'autre méthode, il faut voir qu'il est clair que le polynôme est de degrés 4, qu'il vaut 0 lorsque X=2, 3, -1 ou -2 et qu'il vaut 1 lorsque X=1.
De même, est de degrés 4, vaut 0 lorsque X=1, 3, -1 ou -2 et il vaut 1 lorsque X=2.
Idem pour , et .
Que pense tu maintenant du polynôme ?
(quelle est la valeur de P en X=1, en X=2, en X=3, en X=-1, en X=-2 ?)