Détermination des fonctions f telles que f(ab)=f(a)+f(b)

[Madmaxou]

Bonjour à tous, je suis bloqué à un DM que je dois rendre pour après les vacances ! L'énoncé le voici :

"Le but de l'exercice est de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur R+* telles que :
pour tous réels a et b de R+*, f(ab)=f(a)+f(b) (première propriété)

1) Calculez f(1)

2) Soit a compris dans R+*.
Soit g la fonction définie sur R+* et g'(x)=af'(x)
a) Expliquer pourquoi g'(x)=af'(x)
b) En utilisant la première propriété, déterminer une autre expression de g'(x)
c) En déduire qu'il existe une constante réelle k telle que : pour tout a compris dans R+*, f'(a)=k/a

3) En déduire toutes les fonctions f, définies et dérivables sur R*+, qui vérifient la première propriété."


Je n'arrive vraiment pas à partir du 2)c), je ne comprends pas comme faire :/

Merci d'avance !

[Matt_01]

Bonjour à tous, je suis bloqué à un DM que je dois rendre pour après les vacances ! L'énoncé le voici :

"Le but de l'exercice est de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur R+* telles que :
pour tous réels a et b de R+*, f(ab)=f(a)+f(b) (première propriété)

1) Calculez f(1)

2) Soit a compris dans R+*.
Soit g la fonction définie sur R+* et g'(x)=af'(x)
a) Expliquer pourquoi g'(x)=af'(x)
b) En utilisant la première propriété, déterminer une autre expression de g'(x)
c) En déduire qu'il existe une constante réelle k telle que : pour tout a compris dans R+*, f'(a)=k/a

3) En déduire toutes les fonctions f, définies et dérivables sur R*+, qui vérifient la première propriété."


Je n'arrive vraiment pas à partir du 2)c), je ne comprends pas comme faire :/

Merci d'avance !

g est définie par g(x)=f(ax) c'est ca ?
Dans ce cas g'(x)=af'(ax) mais est aussi égal à f'(x) (car g(x) = f(a) + f(x)).
On a donc pour tout a et x, f'(ax)=f'(x)/a.
On pourrait prendre quoi pour x pour que ca nous arrange ?

[Madmaxou]

Suis-je bête ! Merci !