Determination de 3 nombres

[Anonyme]

soient 3 complexes a,b,c (a,b,c different de 0) tel que a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=a*b+a*c+b*c=0.
comment calculer le produit a*b*c et en deduire une equation du 3 eme degre dont a,b,c sont les racines.

[yos]

a(b+c)=-bc
or b+c=-a,
donc -a²=bc,
donc abc=a^3.
De même abc=b^3=c^3.
donc a,b,c sont égaux à un facteur j ou j² près.
Quitte à permuter (a,b,c) on peut supposer b=ja et c=j²a.
On ne peut rien dire d'autre, car ces deux relations entraînent les hypothèses.
a,b,c sont racines de X^3-(a+b+c)X²+(ab+bc+ca)X-abc, donc de X^3-a^3

[Anonyme]

.On a a^3=b^3=c^3=a*b*c.Comment on en deduit a que a,b,c sont egaux a un facteur j ou j² pres.

[yos]

(a/b)^3=1 entraîne a/b=1, j, ou j² (racines cubiques de 1 dans C).