Determinant d'une matrice

[Dante0]

Bonjour,

Voila je cherche le déterminant d'une matrice :
2 1 -1
3 1 0
1 1 2

J'applique le pivot pour arriver à une matrice triangulaire puis je multiplie les termes de la diagonale principale, en prenant L1 comme pivot et L'2 = 2L2-3L1 et L'3 = 2L3-L1 on a :
2 1 -1
0 -1 3
0 1 3
Ensuite L'2 devient le pivot avec L''3 = L'2 + L'3 ce qui donne :
2 1 -1
0 -1 3
0 0 6
Ce qui donne

OR dans mon livre le résultat et la méthode utilisée sont différents :

Ils posent :
det
2 1 -1
3 1 0
1 1 2

=
det
2 1 -1
3 1 0
5 3 0
=
det
(-1) * 3 1
5 3

Ce qui donne det=-4
Je comprends comment ils trouvent -4 mais pourquoi avoir utilisé le pivot sur la première matrice ? Pourquoi les cofacteurs ? Et surtout pourquoi ma méthode ne fonctionne pas ?

Merci ! et encore désolé le tex ne marche pas.. :triste:

[Pianoo]

Salut,

Dans ton livre ils font apparaître un 0 (en 3ème ligne 3ème colonne) en faisant :
L3 + 2 L1 -> L3
Ensuite la 3ème colonne n'a plus qu'un seul coefficient non nul (le coeff 1ère ligne 3ème colonne) donc il leur suffit de développer par rapport à ce coefficient.

Toi dans ta méthode du pivot t'as fait une erreur à la première étape.
ça doit donner :

2 1 1
3 1 0
1 1 2

Le pivot est = 2
On fait :
L2 - 3/2 L1 -> L2 pour annuler le terme
L3 - 1/2 L1 -> L3 pour annuler le terme

On obtient :
2 1 1
0 -0.5 1.5
0 0.5 2.5

Et là tu peux développer par rapport à la première colonne ou bien refaire un coup de pivot de Gauss pour obtenir :
2 1 1
0 -0.5 1.5
0 0 4

[sylvainc2]

Une propriété des déterminants dit que si on multiplie une ligne ou colonne d’une matrice par un scalaire k, alors le déterminant est aussi multiplié par k.

a) Quand tu as fait L'2 = 2L2-3L1, tu as multiplié L2 par 2, donc aussi le déterminant, même chose pour L'3 = 2L3-L1 (multiplication de L3 par 2). Donc le déterminant a été multiplié par 4.

b) Le résultat de la ligne 3 est [0 1 5] pas [0 1 3], donc à l’étape 2 la ligne 3 est [0 0 8] pas [0 0 6], et le déterminant de la matrice triangulaire est 2*(-1)*8 = -16. Mais il a été multiplié par 4 à cause de a), alors il faut le diviser par 4 pour avoir le dét de la matrice originale : -16/4 = -4, d'où la bonne réponse.

[Dante0]

Merci pour vos réponses !

En fait dans mon livres après avoir écrit :

2 1 -1
3 1 0
5 3 0

Ils écrivent :
3 1
- 5 3

Le moins est appliqué a toute la matrice et pas à 5 et c'est toujours des déterminants (fichu tex ^^)
J'aimerais savoir comment ils passent de l'un à l'autre ? C'est la règle des co facteurs ?
Je suppose qu'ils ont choisi c'est a dire -1 ?

Donc il faut faire notre matrice réduite ? Pourtant ca donne 1 et pas -1 vu que l'exposant est pair.
Sinon est-ce qu'on aurait pu choisir un autre chiffre à part ?
Par exemple est-ce qu'on aurait pu prendre c'est a dire 2 comme cofacteurs ? Qu'est-ce que ca aurait donné dans ce cas ?

[Dante0]

Up ! :we: :we: :we:

[Pianoo]

Bonsoir,

je sais pas si y'a une erreur dans le bouquin ou si t'as fait une faute de frappe (une faute de signe plutôt) mais il y a un truc qui ne va pas dans le déterminant 2x2 que tu as écrit.

Normalement ça donne :

Det(
2 1 -1
3 1 0
5 3 0
)
=
Det(
3 1
5 3
)
=

[Dante0]

Bonsoir,

je sais pas si y'a une erreur dans le bouquin ou si t'as fait une faute de frappe (une faute de signe plutôt) mais il y a un truc qui ne va pas dans le déterminant 2x2 que tu as écrit.

Normalement ça donne :

Det(
2 1 -1
3 1 0
5 3 0
)
=
Det(
3 1
5 3
)
=

Voila en fait c'est ce que j'aimerais comprendre : il vient d'ou le premier -1 ? Quid du 2e avec les exposants ?
Celui avec les exposants est le -1 qui se situe sur la 1ere ligne 3e colonne mais le premier je vois pas d'ou il peut venir ?
Qu'est-ce qu'on appelle cofacteur ? La matrice 2x2 ou le -1 avec les exposants ?

[Pianoo]

[Dante0]

Ok !
Et est-ce qu'on aurait pu prendre n'importe lequel ?
Par exempleDet(
2 1 -1
3 1 0
5 3 0
)
= det
2 -1
3 0 ?

[Pianoo]

Non il te manque des termes !
Tu dois développer par rapport à toute une ligne ou toute une colonne !
Comme le montre la formule :


(là on développer par rapport à la troisième colonne)

Mais dans ton exercice les coefficients de la troisième colonne sont nuls sauf le -1,
il ne reste donc qu'un seul cofacteur ! Beaucoup moins de calculs !
C'est pour ça qu'on fait apparaître des zéros !

Par exemple si tu veux développer par rapport à la 3ème ligne ça donne :

Det(
2 1 -1
3 1 0
5 3 0
)
= 5 x (-1)^{3+1} x Det(
1 -1
1 0
)
+
3 x (-1)^{3+2} x Det(
2 -1
3 0
)
= 5 + (-9) = -4

[Dante0]

Non il te manque des termes !
Tu dois développer par rapport à toute une ligne ou toute une colonne !
Comme le montre la formule :


(là on développer par rapport à la troisième colonne)

Mais dans ton exercice les coefficients de la troisième colonne sont nuls sauf le -1,
il ne reste donc qu'un seul cofacteur ! Beaucoup moins de calculs !
C'est pour ça qu'on fait apparaître des zéros !

Par exemple si tu veux développer par rapport à la 3ème ligne ça donne :

Det(
2 1 -1
3 1 0
5 3 0
)
= 5 x (-1)^{3+1} x Det(
1 -1
1 0
)
+
3 x (-1)^{3+2} x Det(
2 -1
3 0
)
= 5 + (-9) = -4

Ahh je comprends maintenant !
Le -1 avec les exposants est donc une sorte de formule (il apparait tout le temps quelque soit les cas) ?
Sinon j'ai du mal à comprendre le principe de multilinéarité de la fonction déterminant.
En gros c'est
Le a et b ici ne s'appliquent seulement au dernier termes dans la paranthèses ? Instinctivement j'aurais qu'il s'applique à tous les termes en fait...

[Dante0]

ip :hein: :hein:

[Dante0]

Un autre cas pour vérifier que j'ai bien compris !
Soit la matrice
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Si on cherche la matrice adjointe le premier terme a11 (c'est a dire 0 ) en utilisant les cofacteurs on devrait normalement avoir :

det(0,1/1,0) en colonne
ce qui devrait donner 0 non ?
Or dans la correction on ne pose pas le 0 pourquoi ?

[Dante0]

Besoin d'aide svp !

[Dante0]

Up svp !! je suis coincé et mon DS est pour lundi ! :cry: :cry: