Déterminant d'une matrice antisymétrique

[yos]

Ah oui, K c'est le corps des fractions de R, donc d'accord! Oublie ce que j'ai dit.
Elle a l'air bien ta preuve. Bon j'ai pas calculé le produit des matrices mais je te fais confiance.

[ThSQ]

En fait, pour l'instant, je n'ai rien fait, si ce n'est de montrer qu'il suffit de travailler sur R = Z[a_12, ...].
...ou sur K = Q(a_12,...) en utilisant le fait qu'un élément de R carré dans K est carré dans R (parce que R est factoriel).


Maintenant, je considère la matrice A=(a_ij) générique antisymétrique dans M_n(K) et je fais comme habituellement : en, résumé
on a
on "pose"
puis
où M est antisymétrique de dimension (n-2)x(n-2) à coeff dans K.
On a
et une récurrence sur la dimension paire permet de conclure.

Remarque : le seul avantage que je vois à utiliser Q(a_12,...) dans cette démo, c'est juste qu'il n'y pas de discussion sur la (non-) nullité de (et des bidouilles sur les lignes et colonnes qui peuvent avoir lieu) puisque est une indéterminée !

Très joli :happy2:

[Nightmare]

Oui très jolie preuve..

L'idée finale rejoint la mienne.

En posant , on montre que A est congruente à la matrice dont le déterminant vaut et c'est réglé.

:happy3:

[leon1789]

Elle a l'air bien ta preuve. Bon j'ai pas calculé le produit des matrices mais je te fais confiance.

Très joli :happy2:

Oui très jolie preuve..

:zen: Mais quand même, la matrice P est balancée... c'est dommage. Et puis, c'est très calculatoire (mais finalement assez basique en contrepartie :id: )

[leon1789]

L'idée finale rejoint la mienne.
En posant , on montre que A est congruente à la matrice dont le déterminant vaut et c'est réglé.

L'idée fondamentale est la même, ce n'est pas étonnant.

Mais au niveau rédaction, dans ta preuve, quand tu veux utiliser un "pivot inversible" (le a_12), tu dois bien faire un petit effort pour justifier son existence, non ?

[Nightmare]

Pour montrer la congruence, je n'utilise pas les coefficients de la matrice, je fais une raisonnement de dualité topologique.

[leon1789]

Pour montrer la congruence, je n'utilise pas les coefficients de la matrice, je fais une raisonnement de dualité topologique.

Ah, c'est quand même très différent dans la forme alors :we: .

[Nightmare]

Oui, c'est pour cela que je parlais de la similitude entre nos idées finales :lol3: puisqu'on arrive au même point sans faire la même chose !

[leon1789]

Pour montrer la congruence, je n'utilise pas les coefficients de la matrice, je fais une raisonnement de dualité topologique.

En fait, sans tout rentrer dans les détails (pour aller plus vite), qu'entends-tu par "topologique" dans "dualité topologique" ? (tu travailles bien sur un corps quelconque ?)