Déterminant d'une matrice antisymétrique

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 16:25

Salut :happy3:

Voici un joli résultat que je viens de découvrir.

Le déterminant d'une matrice carrée antisymétrique sur un corps commutatif de caractéristique différente de 2 est un carré parfait. (Dans le sens où il admet une racine carrée dans )

Voila, si ça vous intéresse de vous atteler à ce petit exercice pas si facile qu'il n'en a l'air !

:happy3:

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 16:38

(Le résultat n'est bien sûr pas intéressant dans un corps algébriquement clos)

par **leon1789** » 18 Mar 2009, 17:05

Nightmare a écrit:(Le résultat n'est bien sûr pas intéressant dans un corps algébriquement clos)

J'imagine qu'en fait le résultat s'établit "formellement" pour la matrice anti-symétrique générique

dans (un corps contenant) l'anneau de polynômes

à n(n-1)/2 indéterminées.
On va voir :id:

par **leon1789** » 18 Mar 2009, 17:14

Nightmare a écrit:Voila, si ça vous intéresse de vous atteler à ce petit exercice pas si facile qu'il n'en a l'air !

Visiblement, le résultat est vrai sur un anneau commutatif quelconque (sans hypothèse sur l'élément 2) : le déterminant d'une matrice anti-symétrique
EDIT ...ayant des 0 sur sa diagonale...
est un carré (à faire),
et nul en dimension impaire (ça, c'est simple).

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 17:19

Es-tu sûr que ce soit vrai en caractéristique 2 ? Je ne pense pas.

par **leon1789** » 18 Mar 2009, 17:55

Nightmare a écrit:Es-tu sûr que ce soit vrai en caractéristique 2 ? Je ne pense pas.

Si si

Imaginons avoir démontré que la matrice anti-symétrique générique (A_ij) à coefficients dans le corps des fractions rationnelles Q(a_12, a_23,.....) ait un déterminant carré, disons d^2 . (Cela reste à faire, on est d'accord)

En fait, le déterminant de la matrice générique appartient à l'anneau des polynômes Z[a_12, a_23,.....], qui est factoriel, donc intégralement clos.
Cela signfie que d appartient à Z[a_12, a_23,.....] ! ...et là, il n'y a plus aucun dénominateur.

Enfin, la matrice anti-symétrique générique s'évalue en toute matrice anti-symétrique à coefficients dans un anneau commutatif, et d s'évalue alors en une racine carrée du déterminant de la matrice évaluée.

En fait, pas de lien avec la caractéristique. Pour faire ton exo, il suffit de se placer dans le corps Q(a_12, a_23,.....). Cela dit, tout reste à faire :we:

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 18:02

En fait je ne comprends pas vraiment ce qui te permet de te ramener à ton corps de fractions rationnelles ?

par **leon1789** » 18 Mar 2009, 18:36

Nightmare a écrit:Es-tu sûr que ce soit vrai en caractéristique 2 ? Je ne pense pas.

oui tu as raison, car en fait, depuis le début, je pense aux matrices anti-symétriques ayant un 0 sur toute leur diagonale... ce qui n'est pas forcément vrai en caractéristique 2 ! ou même quand 2 est diviseur de 0...

Donc je corrige mes propos
--> dans un anneau commutatif quelconque, toute matrice anti-symétrique
ayant des 0 sur sa diagonale (*)
possède un déterminant qui est :
-- nul en dimension impaire ;
-- carré parfait en dimension paire.
Et pour montrer cela, il suffit de faire une preuve sur le corps Q(a_12,a_13...)

(*) hypothèse automatiquement réalisée sur un anneau intègre lorsque

par **leon1789** » 18 Mar 2009, 18:39

Nightmare a écrit:En fait je ne comprends pas vraiment ce qui te permet de te ramener à ton corps de fractions rationnelles ?

En fait, une matrice a=(a_ij) anti-symétrique ayant des 0 sur sa diagonale est l'évaluation de la matrice générique A à coeff dans Z[A_12,A_13,...] : le morphisme d'évaluation étant simplement A_ij --> a_ij.
Via cette évaluation, le déterminant générique de A=(A_ij) est évalué en le déterminant de a.

Es-tu d'accord ?

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 18:52

Je ne comprends pas le mot "générique" ici, je n'ai pas encore étudié cette notion :happy3:

par **leon1789** » 18 Mar 2009, 19:11

Nightmare a écrit:Je ne comprends pas le mot "générique" ici, je n'ai pas encore étudié cette notion :happy3:

oui, et cela ne m'étonne pas... et pourtant, on l'utilise souvent... sans même s'en rendre compte ! :id:

La matrice 2x2 générique est précisément LA matrice

de l'anneau Z[A,B,C,D] où A,B,C,D sont quatre indéterminées sur Z. Son déterminant est AD-BC .
Dans tout anneau commutatif, le déterminant d'une matrice quelconque

est ad-bc !

La matrice 3x3 "anti-symétrique générique avec des 0 sur la diagonale" est précisément LA matrice

de l'anneau Z[A,B,C] où A,B,C sont trois indéterminées sur Z. Son déterminant est ...nul.
Dans tout anneau commutatif, le déterminant d'une matrice quelconque

est nul.

Idem pour plein de trucs que l'on manipule formellement tout en disant qu'on prend des éléments dans tel corps ou tel anneau commutatif, mais qui en fait, ne sont que des évaluations d'un truc générique. Et l'avantage du générique (pas toujours décisif , faut pas rêver), c'est qu'il se passe sur Z[A....] qui est un anneau intègre, factoriel, de caractéristique nulle, etc. :zen:

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 19:24

Je vois intéressant. Et quelle est donc ta preuve en utilisant cette notion? Elle est peut être plus limpide que celle que j'ai qui utilise une réduction à une forme en bloc.

par **ThSQ** » 18 Mar 2009, 20:00

C'est le carré du pfaffien, il y a eu un sujet de concours assez horrible là-dessus. Et c'est une identité algébrique donc vraie partout m'semble bien

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 20:12

Ca discute mais toujours pas de preuve au final !

par **leon1789** » 18 Mar 2009, 20:38

Nightmare a écrit:Je vois intéressant. Et quelle est donc ta preuve en utilisant cette notion? Elle est peut être plus limpide que celle que j'ai qui utilise une réduction à une forme en bloc.

Pour l'instant, à part l'immédiat det(A) = 0 en dimension impaire, tout reste à faire en dimension paire comme je disais. Mon baratin, c'était juste pour faire la remarque que tout se passe "simplement" dans Z[A_12,...].

Il y a effectivement

= diag blocs 0,1,-1,0

Il est vrai qu'une preuve utilisant une propriété liée à Z[A_12,...] serait amusante. :id:

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 23:59

Comme le dit ThSQ, on étudie effectivement le Pfaffien, je vous ai soumis l'exercice justement pour voir s'il n'y avait pas une autre méthode. La tienne semble très intéressante leon malgré le fait que je ne puisse pas la déchiffrer entièrement par manque d'outil.

par **yos** » 19 Mar 2009, 08:45

Si ta matrice est réelle, c'est bon aussi, car les vp d'une alternée réelle sont des imaginaires purs (assez facile à prouver) et comme on se limite à la dimension paire...

par **leon1789** » 19 Mar 2009, 09:14

Nightmare a écrit:La tienne semble très intéressante leon malgré le fait que je ne puisse pas la déchiffrer entièrement par manque d'outil.

En fait, pour l'instant, je n'ai rien fait, si ce n'est de montrer qu'il suffit de travailler sur R = Z[a_12, ...].
...ou sur K = Q(a_12,...) en utilisant le fait qu'un élément de R carré dans K est carré dans R (parce que R est factoriel).

Maintenant, je considère la matrice A=(a_ij) générique antisymétrique dans M_n(K) et je fais comme habituellement : en, résumé
on a

on "pose"

puis

où M est antisymétrique de dimension (n-2)x(n-2) à coeff dans K.
On a

et une récurrence sur la dimension paire permet de conclure.

Remarque : le seul avantage que je vois à utiliser Q(a_12,...) dans cette démo, c'est juste qu'il n'y pas de discussion sur la (non-) nullité de

(et des bidouilles sur les lignes et colonnes qui peuvent avoir lieu) puisque

est une indéterminée !

par **yos** » 19 Mar 2009, 09:21

leon1789 a écrit:en utilisant le fait qu'un élément de R carré dans K est carré dans R (parce que R est factoriel).

Si je me limite à ta phrase ci-dessus, je trouve que tu as une drôle de définition de la clôture intégrale.
Mais j'ai dû rater un épisode.

par **leon1789** » 19 Mar 2009, 09:31

yos a écrit:Si je me limite à ta phrase ci-dessus, je trouve que tu as une drôle de définition de la clôture intégrale.
Mais j'ai dû rater un épisode.

R est intégralement clos, oui, car il est factoriel, non ?
Ou j'ai pas compris ce que tu dis ?

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