Matrices symetrique et antisymétrique

[barbu23]

Bonsoir à tous,

A quoi sert le fait de savoir qu'une matrice s'écrit de façon unique comme somme d'une matrice symétrique et d'une autre antisymétrique ?
Connaissez vous quelques applications de ce théorème dans le domaine de diagonalisation ?

Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Bonsoir,

Pourquoi :
: l'ensemble des matrices carrés d'ordre .
: l'ensemble des matrices carrés, antisymétriques, d'ordre .
: l'ensemble des matrices carrés, symétriques, d'ordre .
Je sais que , parce que :

Mais, je ne sais pas montrer que la somme est directe ?

Merci pour votre aide.

[Le_chat]

Si A est symétrique et antisymétrique alors tA=...

[barbu23]

Si A est symétrique et antisymétrique alors tA=...

Ah oui, c'est vrai donc : il faut montrer que : .
: est symétrique, c'est à dire : , et est antisymétrique, c'est à dire : .
Par conséquent :
D'où le résultat.
Merci Le_chat. :happy3:

[barbu23]

Pouvez vous me donner la réponse au premier post ?
Merci d'avance. :happy3:

[Supernova]

dim A_n= n(n-1)/2 et dim S_n=n(n+1)/2 leur somme est égale à n^2 = dim M_n(IK)

[wserdx]

Il y a des applications, comme le fait que toute matrice est le produit d'une matrice symétrique et d'une matrice orthogonale.

[barbu23]

On utilise la diagonalisation dans ces applications de ce théorème ?

[barbu23]

En fait, mon vrai problème est celui qui se trouve ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,784250
Merci pour votre aide. :happy3:

[wserdx]

Par exemple décomposer en trois:
-les matrices diagonales
-les matrices triangulaires supérieures (sans diagonale)
-idem inférieures.

[barbu23]

Par exemple décomposer en trois:
-les matrices diagonales
-les matrices triangulaires supérieures (sans diagonale)
-idem inférieures.

@wserdx :
J'ai développé quelques idées ici : http://www.maths-forum.com/dualite-trialite-132482.php
:happy3: