Déterminant

[bentaarito]

Bonjour

comment montrer que det(A)=det(tA)?(t pour transposée)
j'ai trouvé une démo qui ne m'a pas trop parlé avec les permutations en partant de la définition première du déterminant.
y a-t-il une autre manière pour procéder? :we:

[girdav]

Bonjour,
je crois que la preuve qui part de la définition avec les permutation est la preuve classique. Qu'est-ce qui te gêne dans cette preuve?

[Ben314]

Salut,
Il faut bien te dire que pour manipuler un objet mathématique, par exemple le déterminant, il faut forcément utiliser la définition, au moins pour montrer les premières propriétés !

A la limite, si tu as déjà démontré que le determinant d'un produit est le produit des determinants et que le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des termes de sa diagonale, tu peut utiliser le pivot de Gauss pour te rammener à un produit de matrices élémentaires et d'une matrice triangulaire...

[bentaarito]

Salut,
Il faut bien te dire que pour manipuler un objet mathématique, par exemple le déterminant, il faut forcément utiliser la définition, au moins pour montrer les premières propriétés !

A la limite, si tu as déjà démontré que le determinant d'un produit est le produit des determinants et que le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des termes de sa diagonale, tu peut utiliser le pivot de Gauss pour te rammener à un produit de matrices élémentaires et d'une matrice triangulaire...

Ce qui me gène dans la démo c que j ai pas bien compris comment passer de a indice(1,sigma(1) ) à a indice ( sigma^(-1),1)!! ( a étant un coefficient de la matrice A et sigma une permutation de

[bentaarito]

Salut,
Il faut bien te dire que pour manipuler un objet mathématique, par exemple le déterminant, il faut forcément utiliser la définition, au moins pour montrer les premières propriétés !

A la limite, si tu as déjà démontré que le determinant d'un produit est le produit des determinants et que le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des termes de sa diagonale, tu peut utiliser le pivot de Gauss pour te rammener à un produit de matrices élémentaires et d'une matrice triangulaire...

Non, enfin j'ai compris la démo ( car peut importent la permutation utilisée car on somme sur toutes les permutations ) mais c juste que je voulais savoir si y'en a une autre démo plus intuitive!
Si non Ben , par matrices élémentaires tu veux dire transvections??

[Ben314]

Si non Ben , par matrices élémentaires tu veux dire transvections??

Appelle les comme tu veut, ça change rien, ce sont les matrices qui correspondent aux opérations élémentaires que l'on fait dans la méthode du Pivot :
Ajout d'un multiple d'une ligne à une autre. (=transvection)
Echange de deux lignes. (=permutation)
Et à la limite, tu peut rajouter la multiplication d'une ligne par un scalaire non nul. (=dilatation)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_%C3%A9l%C3%A9mentaire

De tout façon le but est uniquement de décomposer ta matrice en un produite de matrices suffisement simple pour que tu puisse dire "en claquant des doigts" que, pour ces dernières, le déterminant de la transposé est égal au determinant de la matrice de départ.