Determinant

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
y'a-t-il un lien entre la notion de determinant et la notion d'algèbre exterieur ( i.e : produit exterieur ) ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[Nightmare]

Salut,

quel rapport entre : le produit extérieur, le déterminant et ... un parallélogramme par exemple

[barbu23]

le produit exterieur de trois vecteurs definissent le volume d'un parallelogramme, et le determinant de trois vecteurs est le volume de l'espace delimité par les trois vecteurs, donc, ils coincident ! c'est ça ? :happy3:
MErci ! :happy3:

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
Quelle est la difference entre le produit vectoriel et le produit exterieur ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
Soient et et trois vecteurs de l'espace .
Par definition :
La norme du produit vectoriel de et est et represente l'aire du parallelogramme delimité par : et
La norme du produit mixte de et et est et represente le volume du parallelopipède delimité par : et et
Question : :happy3:
Avant de parler de norme d'un produit vectoriel ou de norme d'un produit mixte, je voudrais savoir ce que represente geometriquement un produit vectoriel et un produit mixte !
C'est à peu près l'équivalent de ce que represente la norme d'un vecteur et de son produit scalaire, bon, geometriquement on sait ce que c'est que produit scalaire, c'est la projection d'un vecteur sur un autre ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[alavacommejetepousse]

bonsoir

je ne comprends pas trop la question "représente géométriquement"

géométriquement on voit bien que le produit vectoriel est orthogonal aux deux vecteurs ds le sens du tire bouchon d ampère et avec la norme ad hoc

pour une définition plus rigoureuse dans un espace euclidien orienté quelconque on passe par le produit mixte et la représentation des formes linéaires

[Nightmare]

Moi je ne comprends pas (mais ça ne m'étonne pas) pourquoi on parle de "norme du produit mixte" quand celui-ci est déjà un scalaire ...

[Ben314]

Moi je ne comprends pas (mais ça ne m'étonne pas) pourquoi on parle de "norme du produit mixte" quand celui-ci est déjà un scalaire ...

Bof, il y a bien des livres qui ne parlent plus de module d'un nombre complexe mais seulement de sa norme, alors tant qu'à faire, pourquoi ne pas jeter aux oubliettes la valeur abolue et ne pas parler systématiquement que de norme, même pour un scalaire... :zen:

[Nightmare]

Certes Ben, mais est-ce à quoi pensait Barbu?

[Ben314]

Tient, par contre, à propos de "produit extérieur" (c'est une notion que j'ai vu mais... un peu oublié...), il me semble que si l'on considère deux vecteurs de, par exemple R^4, et que l'on cherche la surface du parallélogramme engendré par ces deux vecteurs (dans le plan qu'ils engendre muni de la restriction du produit scalaire de R^4), il suffit de considérer la matrice 4x2 constituée des coordonnées des 2 vecteurs dans une base orthonormée quelconque et que le carré de la surface est la somme des carrés des 6 sous déterminants 2x2 de la matrice.

Le truc, c'est qu'il est clair que dans une b.o.n "adaptée" au problème, le résultat est vrai, mais je n'arrive plus à voir pourquoi cette quantité (la somme des carré des 6 sous déterminants 2x2) est invariante à changement de base orthonormée prés (en fait, je suppose évidement que plus généralement, cette quantité est multipliée par det(P)^2 lorsque on fait un changement de base quelconque)

Quelqu'un pourrait il m'éclairer ? (si possible plutôt avec le cas général de k vecteurs de R^n où la formule est la même...)

EDIT :

Certes Ben, mais est-ce à quoi pensait Barbu?

Surement... pas :mur: (sans parler du fait que ta phrase me semble pas trop guère française..., mais je suis pas sûr : "est-ce ce à quoi pensait barbu" m'irait mieux...)

[Nightmare]

oui mais comme il est quasiment absorbé (encore?) à haute voix, il méritait bien d'être éludé à l'écrit :lol3:

(non ce n'est pas une fausse excuse à mon illettrisme !)

[Arkhnor]

Salut.

il suffit de considérer la matrice 4x2 constituée des coordonnées des 2 vecteurs dans une base orthonormée quelconque et que le carré de la surface est la somme des carrés des 6 sous déterminants 2x2 de la matrice.

Je n'y connait pas grand chose, mais il me semble que on généralise la notion de déterminant à des matrices non carrées, et que ça correspond toujours à la notion d'aire.
On dispose alors d'analogues à la formule du changement de variables dans les intégrales pour des changement de variables qui vont entre espaces de dimension différentes. (formules de l'aire et de la co-aire)

[Ben314]

Oui, ça, pour moi, c'est la façon dont on utilise par la suite la formule pour des calculs d'aires, de volume,... dans des espaces de "grande dimension", mais ce n'était pas vraiment le sens de ma question.

Si tu veux, pour être précis, ma question est :

On considère l'ensemble des matrices à coeff. dans (où ) et l'application "p-linéaire" (où : coeff. binomial) qui à une matrice associe les sous déterminants contenus dans (dans un ordre fixé d'avance).

Montrer que, pour toute matrice (groupe orthogonal) et toute , on a : la norme étant évidement la norme euclidienne cannonique sur

P.S. en fait, en réfléchissant un peu, si , il n'y a plus rien qui marche si : dans R², les applications linéaires multiplient les surfaces (algébrique) par leur déterminant mais, lorsqu'elles ne sont pas dans le groupe orthogonal, elle font n'importe quoi sur les longueurs...