Des Matrices dans Mn(Z)

[zazluz007]

Bonjour tout le monde,

j'arrive pas a trouver solution a ce problème pouvez-vous m'aidez :
"soit A une matrice non nul et à coefficient entier relatif et det(A)=0 tel que A^n=A"

peut on trouver les A ??

Merci!

[Ben314]

Salut,

j'arrive pas a trouver (*) solution a ce problème pouvez-vous m'aidez :
"soit A une matrice non nul et coefficient entier relatif et det(A)=0 tel que A^n=A"
peut on trouver la (**) matrice A??

Visiblement, tu semble avoir un petit problème avec les articles (LE, LA, LES, DES, UNE,...)
- En (*) y'en a aucun et si celui qui manque est UNE alors c'est fastoche : A=0 convient.
- En (**) y'en a effectivement un, mais qui est un peu spécial vu qu'il signifie que des solutions, l'équation en admet une et une seule (LA, c'est un article défini),et qui est franchement faux.

Bref, a mon avis, l'énoncé intéressant, c'est de déterminer TOUTES LES éventuelles solutions de ton équation (mais il faudrait quand même comprendre que... c'est as ça que tu as écrit...)

[zazluz007]

Salut Ben314,

Il faut bien lire avant d'accusé les gens bêtement j'ai dit que A est non nul
petite précision A est unique sous réserve d'existence.

en tout cas merci pour ta réponse !

[Ben314]

Il me semble bien que, dans , toutes les matrice de la forme avec sont telles que et .

Donc le "LA" de l'énoncé et le "A est unique sous réserve d'existence" il sont comme on dit "nuls et non avenu"...

[zazluz007]

et pour n>=3

[Ben314]

et pour n>=3

Tu déconne ou quoi ?

...sont telles que ...

ce qui implique trivialement que ; ; etc...

[zazluz007]

nxn c'est la taille de la matrice (A appartient à Mn(Z))

[Ben314]

nxn c'est la taille de la matrice (A appartient à Mn(Z))

Ah bon ?
Et c'est écrit où dans l'énoncé ?

Et en faisant "méga chauffer mes neurones", il me semble bien que, dans , toutes les matrice de la forme avec sont telles que et .

Peut être qu'en réfléchissant encore plus (attention, ça va bouillir) je te trouverais un exemple en dimension 4...

[zazluz007]

Oui t'as raison on a pas l'unicité , par contre det(P)=+ou-1 ,, aurai tu une idée pour trouvé les P.

[Ben314]

Si n est impair, tu aura au minimum toute celles qui sont conjuguées à une matrice diagonale avec des 1 et des -1 sur la diagonale (avec le bon nombre de -1 pour que ton déterminant soit égal à ce que tu veut).

Pour n pair, c'est moins clair que tu va en avoir des tonnes :
Si Cayley-Hamilton te dit que tu as toujours avec et .
Si tu rajoute les condition et , ça te laisse pas des tonnes de possibilités pour : la seule solution est .
Pour ou plus (pair), je sais pas trop ce que ça donne, à part de dire que le déterminant est forcément égal à 1 car avec impair

Edit : En fait, en dimension quelconque, il y a des solutions "non complètement triviales" : il suffit de prendre une permutation qui soit un -cycle de Sn puis la matrice correspondant à cette permutation des vecteurs de la base : elle est évidement inversible et vérifie donc .
Par exemple, pour , la matrice ainsi que toutes ces conjuguées convient.

[zazluz007]

Merci pour ta réponse !

Mais det(A)=0 donc A n'est pas inversible donc on a pas A^(n-1)=In

[Ben314]

Ca m'étonnerais plus que beaucoup que cette matrice là :

qui ne fait que permuter les vecteurs de la base (il y a un et un seul 1 par ligne et par colonne) puisse être non inversible.
Cette matrice, tu "lit" directement dedans que c'est celle de l'endomorphisme tel que :
(*)
Et il est complètement évident que est bijectif avec comme bijection réciproque l'endomorphisme tel que :


Et si tu préfère, tu peut l'écrire en terme de système, c'est tout aussi trivial : l'endomorphisme f, c'est celui qui à (x,y,z,t) associe (x'=x , y'=t , z'=y , t'=z) et donc que l'unique antécédent de (x',y',z',t') c'est (x=x' , y=z' , z=t' , t=y').

(*) Et avec ce point de vue là, il est tout aussi immédiat que vu que "fait" :




Enfin, bref, c'est ce que l'on appelle une matrice de permutation.

[zazluz007]

Je parle de ça
Edit :[/b] ... elle est évidement inversible et vérifie donc .
Ce n'est pas vrai car A n'est pas inversible.
(Je ne parle pas de la matrice de permutation).

[Ben314]

MEA CULPA....
Désolé, c'est effectivement moi qui ait lu complètement de travers ce post là :

Oui t'as raison on a pas l'unicité , par contre det(P)=+ou-1 ,, aurai tu une idée pour trouvé les P.

où je croyais que tu te posait la même question qu'avant, mais en remplaçant la condition det(A)=0 par la condition det(A)=+-1.

Concernant , on va dire que "c'est tout un monde", c'est à dire qu'il y a des tonnes et des tonnes de truc qu'on peut dire dessus.
Dans le cas n=2, c'est "relativement simple" à visualiser : pour trouver des , tels que , au fond, il suffit de choisir et quelconques mais premiers entre eux et le théorème de Bézout te dit qu'alors il va exister et (non uniques) tels que . Ca montre au minimum que de telles matrices, déjà, il va y en avoir pas mal.

Après, en dimension supérieure, c'est un peu pareil : tu peut prendre n'importe quoi comme première ligne (ou colonne) de la matrice, pourvu que ce soient des entiers globalement premiers entre eux. Systématiquement, il y aura une façon de "compléter" la matrice de façon à ce qu'elle ait un déterminant égal à 1.
Mais c'est beaucoup moins trivial à démontrer vu que ça demande "quasi obligatoirement" de passer par la théorie des A-modules sur un anneau principal.
Tu peut essayer sur un exemple pour voir que c'est pas hautement trivial
Exercice : Déterminer des entiers tels que

Sinon, tu arrive à préciser un peu ta question concernant ce que tu aimerais savoir sur ces matrices là ?