Dérivées
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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rifly01
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par rifly01 » 07 Déc 2006, 22:22
Bonjour,
J'ai un petit exercice qui me pose problème, merci de vouloir me débloquer;
Le voici,Déterminer la dérivée n-ième de la fonction
=x^n(1+x)^n)
En déduire la valeur de 
-------------
On pose
=u(x)v(x))
Pour u;
=x^{n}\\u^{(1)}(x)=nx^{n-1}\\....\\ u^{(n)}(x)=n(n-1)(n-2)(n-3)......(n-(n-1))x^{n-n}=n!)
Pour v
=(1+x)^{n}\\v^{(1)}(x)=n(1+x)^{n-1}\\....\\ v^{(n)}(x)=n(n-1)(n-2)(n-3)......(n-(n-1))(1+x)^{n-n}=n!)
Et donc
=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}u^{k}(x)v^{n-k}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}(k!)((n-k)!)=n!(n+1)=(n+1)!)
--------------
Je n'arrive pas à en déduire ce qui est demandé ...
!}\Big]^2=(n!)^2\sum_{k=0}^{n}(k!(n-k)!)^{-2}=(n!)^2\sum_{k=0}^{n}(u^{k}(x)v^{(n-k)}(x))^{-2}=\\ (n!)^2\sum_{k=0}^{n}u^{-2k}(x)v^{2k}(x)v^{-2n}(x)= (n!)^2u^0(x)v^{-2n}(x)=(-2n)!(n!)^2)
Est ce que c'est ca ? (il y a un moins qui m'enbète
Je n'arrive pas à aller plus loin ... Et est ce qu'il ya une suite si oui aider moi à la voir
Merci d'avance
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nuage
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par nuage » 07 Déc 2006, 22:58
Salut,
Je suis désolé de ne pas pouvoir t'aider vraiment, mais il est tard, et j'ai la flemme.
Mais il y a une remarque immédiate à faire : la dérivée n-ième de ta fonction f ne peut pas être constante car f est un polynome de degré 2n.
bon courage et @+
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rifly01
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par rifly01 » 07 Déc 2006, 23:10
Zute alors,
Je vois que c'est un poly de degré 2n
Mais je ne vois d'erreur ...
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rifly01
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par rifly01 » 07 Déc 2006, 23:35
débloquez moi :marteau:
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rifly01
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par rifly01 » 08 Déc 2006, 00:25
Re -
Je trouve un autre truc :
=x^{2n-1}\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(2n-k)x^{-k})
Mais je ne vois toujours pas le lien entre cette question et la question qui suit
des indices ... ?
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rifly01
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par rifly01 » 08 Déc 2006, 01:51
c'est fini, j'ai trouvé
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tize
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par tize » 08 Déc 2006, 02:04
f(x)=u(x)v(x) avec u(x)=x^n et v(x)=(1+x)^n. La formule de Leibniz donne :
^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(k)}v^{(n-k)})
donc :
}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^kn(n-1)...(n-k+1)x^{n-k}n(n-1)...(k+1)\(1+x\)^k)
donc
}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}\frac{n!}{k!}(1+x)^k=n!\sum\limits_{k=0}^{n}\(C_n^k\)^2x^{n-k}\(1+x\)^k\quad (*))
D'autre part f(x) est un polynome en x de degre 2n de coefficient dominant 1 donc f^n(x) est un polynome de degré n et de coefficient dominant
...(n+1)=\frac{(2n)!}{n!})
donc :
}(x)}{\frac{(2n)!}{n!}x^n}\;=1)
mais d'après (*) :
}(x)}{\frac{(2n)!}{n!}x^n}= \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sum\limits_{k=0}^{n}\(C_n^k\)^2\(\frac{1+x}{x}\)^k\;\longrightarrow\limits_{x\to\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}\sum\limits_{k=0}^{n}\(C_n^k\)^2=1)
Donc
^2=\frac{(2n)!}{(n!)^2})
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fahr451
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par fahr451 » 08 Déc 2006, 07:52
c'est la formule de van der monde ( cas particulier) qui peut s 'obtenir par un raisonnement de dénombrement : dans E = A U B
avec A, B de cardinal n , E de cardinal 2n , compter les parties X de E à n éléments en discutant sur k le nombre d'éléments en commun entre X et A.
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rifly01
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par rifly01 » 08 Déc 2006, 21:23
Merci bien à vous tous pour toutes vos sublimes réoponses !
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