Dérivées partielles

[Couac]

Bonjour à tous,

J'ai grand besoin d'aide pour comprendre quelques concepts essentiels de mon cours de fonctions de plusieurs variables, car ils m'échappent complètement.

Pour faire simple, disons que je comprends parfaitement comment résoudre une EDP "à la physicienne", sans me poser de questions. Ce qui me chagrine, c'est qu'en grattant un peu et en essayant de saisir "pourquoi ça marche", je m'aperçois bien que je ne suis pas capable de le dire.

Le but principal de mon message, c'est notamment de comprendre le "pourquoi" de la formule de dérivée partielle d'une composée.

On va traiter ça sur un exemple du cours. Le voici :

On cherche à trouver f (qui est C1) vérifiant pour tout (x,y) de R² :
.
Ici, on fait un changement de variable, ie un changement de base de R² :


et P est la matrice de passage (de déterminant non nul) : .
Jusque là, ok.
Cela définit une nouvelle application :

g est C1 comme composée de fonctions C1 : , où .
On calcule les dérivées partielles de g (et c'est là que je ne pige pas, en toute rigueur, comment on le prouve) :

On peut le voir en disant : .

Bien, j'ai déjà manipulé 1000 fois ce truc en thermo, je connais, ok. Mais "pourquoi" ça marche? J'essaie bien de le prouver, mais je m'emberlificote dans toutes ces notations, et je n'aboutis pas. A partir de la relation connue : , comment peut-on démontrer "proprement" cette propriété?

Et aussi : comment calcule-t-on la dérivée seconde ?
Can you help me, please?

[fahr451]

bonjour

puisque tu connais la formule de composition des différentielles en un point

il suffit ensuite de considérer les matrices de ces applications linéaires dans les bases canoniques des R^n qui sont exactement les jacobiennes

la jacobienne de la composée = le produit des jacobiennes

et il suffit de savoir faire un produit matriciel pour trouver le résultat sur les dérivées partielles

[Blueberry]

Bonjour, ces questions sont plus que légitimes:

je noterai df/dx pour la dérivée partielle par rapport à x

df(h(u,v))°dh(u,v) = df(h(u,v)) ° (adu +bdv , cdu+ddv)

Or on est bien d'accord que df(a,b)(h,k) = (df/dx)h+(df/dy)k

Donc df(h(u,v)) ° (adu +bdv , cdu+ddv) = (df/dx)(adu +bdv) +(df/dy)(cdu+ddv)

D' où c'est égal à a(df/dx)du +b(df/dx)dv +c(df/dy)du+d(df/dy)dv

En regroupant les termes en du on trouve dg/du = a(df/dx) + c(df/dy)

Je précise enfin que df/dx devrait s'écrire (df/dx)(h(u,v)) mais ds le calcul précedent ça serait trop lourd à écrire.

[Couac]

Hello, merci à vous deux. Ma question portait effectivement sur l'aspect "calculatoire" de la chose, donc plus dans l'esprit de Blueberry que de fahr.

En fait, j'ai deux questions à poser, et je pense que ces deux questions viennent en fait d'une seule et même incompréhension d'un point clé :

df(h(u,v))°dh(u,v) = df(h(u,v)) ° (adu +bdv , cdu+ddv)

Donc dh(u,v) = (adu +bdv , cdu+ddv)? Mon problème, c'est qu'à force de manipuler toutes ces notations, je ne m'y retrouve pas. Premièrement, je ne "vois" pas vraiment le pourquoi de cette égalité. Et deuxièmement, u et v semblent être des variables au même titre que x et y quand on écrit dh(u,v), mais on dirait qu'ils deviennent ensuite des fonctions quand on écrit du et dv. Et là, j'avoue que j'ai un peu de mal.

Or on est bien d'accord que df(a,b)(h,k) = (df/dx)h+(df/dy)k

Question, qui, je pense, n'est pas sans lien avec les précédentes : oui, je suis d'accord, mais... c'est une définition, ou une propriété qui se démontre?

[Blueberry]

Pour la deuxième question :

Par propriété d'une dérivée partielle df(a,b)(h,k)(c'est à dire appliqué au vecteur (h,k) ) est égal à (df/dx)(a,b)h + (df/dy)(a,b)k. C'est tout l'intérêt des dérivées partielles.

Deuxièmement que signifie dx ou du etc..

quand la variable générique de l'espace ds lequel on travaille est (x,y), dx désigne une application linéaire définie sur cet espace et c'est tout simplement la 1ère projection !

---> ainsi dx(h,k) = h et dy(h,k) = k

D'où l'égalité df(a,b)(h,k) = (df/dx)(a,b)h + (df/dy)(a,b)k

permet d'écrire en terme d'application linéaire :

df(a,b)= (df/dx)(a,b)dx + (df/dy)(a,b)dy

ou en allégeant les notations (ce qui est presque toujours ce que l'on fait, ce qui augment l'ambiguïté de ces écritures)

df(a,b) = (df/dx)dx + (df/dy)dy

[Couac]

ou en allégeant les notations (ce qui est presque toujours ce que l'on fait, ce qui augment l'ambiguïté de ces écritures)

Là est le gros problème... on ne comprend rien à ce qu'on manipule et c'est assez pénible au début...

Je vais méditer sur tout ça, et je reviendrai si j'ai de nouvelles questions! Merci à vous

[fahr451]

j'ai mal compris alors

j'ai cru que tu calculais de façon mécanique sans problème mais sans trop comprendre la justification de ce que tu faisais

[Couac]

C'est en effet ça, oui... Sauf que parfois, j'ai même du mal à calculer de façon mécanique.