Continuité de dérivées partielles premières

[Massanie]

Bonjour à tous,

Voilà plusieurs heures que je coince sur la fin d'un DM que je dois rendre lundi 14... Je me joins donc à vous en espérant que vous saurez m'aider

Voici mon sujet et ce que j'ai fait pour l'instant :
http://dl.free.fr/nY4WmgHlL/Exo1.doc

Je suis donc bloquée lorsqu'il est question de démontrer la continuité des dérivées partielles premières de la fonction. Je me suis basée sur le corrigé de notre professeur (voir lien ci-dessous, fin de l'exercice 3), mais j'obtiens une forme plus compliquée après avoir simplifié, alors je ne sais pas vraiment comment faire...

http://www.math.jussieu.fr/~cochet/efrei/td/EFREI-L2S3-MathsDuReel-TD-CorrectionChap4.pdf

Merci d'avance pour votre aide.
Mélanie.

[xyz1975]

Bonjour,
Pour l'ensemble de définition c'est bon, mais vous avez écrit f est continue sur ]-infini, 0[ inter ]0, +infini[ :
Deux érreurs : d'abord je suppose que c'est une erreur de frappe par rapport à l'intersection, la deuxième l'ensemble de définition est un ensemble de couples, vous voulez dire f est continue sur IR²\{(0;0)} comme quotion de deux fonctions continues.
Pour la continuité en (0;0) on peut utilier les coordonnées polaires mais sans majoration :
Pour (x;y)#(0;0) on a
Cette quantité tend vers zéro vu que r tend vers zéro et le dénominateur n'est jamais nul.

[xyz1975]

Pour l'existance de la dérivée partielle par rapport à x et y c'est bon mais juste par rapport à la rédaction il ne faut pas écrire : (df/dx veut dire dérivée partielle c'est à dire d rond j'ai pas assez de temps pour itiliser latex)
df/dx(0;0)=lim.....
On calcule la limite puis si elle est finie on la note df/dx.
Pour la continuité des dérivées partielles en (0;0) vous pouvez aussi utiliser les coordonnées polaires, vous avez une puissance 7 au dénominateur et une puissance 4 de r au dénominateur le tout est borné ce qui montre que la limite est zéro.

[Massanie]

Pour l'existance de la dérivée partielle par rapport à x et y c'est bon mais juste par rapport à la rédaction il ne faut pas écrire : (df/dx veut dire dérivée partielle c'est à dire d rond j'ai pas assez de temps pour itiliser latex)
df/dx(0;0)=lim.....

Merci pour cette notification, je ne le savais pas

Par contre, je n'ai pas bien compris où se trouvaient mes deux erreurs dans votre premier message...

Enfin, pour ce qui est des coordonnées polaires, je n'ai pas vraiment compris non plus... Je ne me rappelle pas avoir les avoir utilisées dans ce chapitre... :hein: De plus, je pense que notre professeur attend de nous l'utilisation de l'inégalité triangulaire. Pourriez-vous m'éclaircir ?

Merci de vos réponses !

[xyz1975]

Par contre, je n'ai pas bien compris où se trouvaient mes deux erreurs dans votre premier message...

Vous voyez l'ensemble de définition encadré, daus lignes après vous avez écrit (f est continue sur ]-infini, 0[ inter ]0, +infini[ :
D'abord ce n'est pas une intersection (erreur de frappe)
De plus ce n'est pas un intervalle de IR.
En fait vous voulez écrire continue sur IR²\{(0;0)}.

Enfin, pour ce qui est des coordonnées polaires, je n'ai pas vraiment compris non plus... Je ne me rappelle pas avoir les avoir utilisées dans ce chapitre... :hein: De plus, je pense que notre professeur attend de nous l'utilisation de l'inégalité triangulaire. Pourriez-vous m'éclaircir ?
Merci de vos réponses !

Les coordonnées polaires sont (x;y)=(rcos@,rsin@) @=theta
L'négalité triangulaire ne répond pas à la question tout le temps, dans l'exo 2 votre prof a utilisé les coordonnées polaires pour calculer une limite. Donc vous les avez vues je pense.
Pour les coordonnées polaires c'est un moyen éfficace pour le calcul de limites il s'agit de remplacer x par rcos@ et y par rsin@, en faisant tendre r vers zéro sachant que @ varie arbitrairement dans IR (ou dans un intervalle de longeur 2pi), daus cas se présentent :
Si la valeur de la limite dépend de @ alors cette limite n'existe pas, sinon la limite existe et elle vaut cette valeur.

[Massanie]

Vous voyez l'ensemble de définition encadré, daus lignes après vous avez écrit (f est continue sur ]-infini, 0[ inter ]0, +infini[ :
D'abord ce n'est pas une intersection (erreur de frappe)
De plus ce n'est pas un intervalle de IR.
En fait vous voulez écrire continue sur IR²\{(0;0)}.

D'accord, je comprends mieux

Les coordonnées polaires sont (x;y)=(rcos@,rsin@) @=theta
L'négalité triangulaire ne répond pas à la question tout le temps, dans l'exo 2 votre prof a utilisé les coordonnées polaires pour calculer une limite. Donc vous les avez vues je pense.
Pour les coordonnées polaires c'est un moyen éfficace pour le calcul de limites il s'agit de remplacer x par rcos@ et y par rsin@, en faisant tendre r vers zéro sachant que @ varie arbitrairement dans IR (ou dans un intervalle de longeur 2pi), daus cas se présentent :
Si la valeur de la limite dépend de @ alors cette limite n'existe pas, sinon la limite existe et elle vaut cette valeur.

Effectivement... Je vais me pencher un peu plus là-dessus, je vous dirai ce que je trouve

Merci encore !

[xyz1975]

Oui pas de problème, surtout n'hésitez pas.

[Massanie]

Alors, j'y ai passé beaucoup de temps, mais je ne suis pas sûre de mes calculs de coordonnées polaires...
Voici mon exercice final :

http://dl.free.fr/nP6Sfg2tF/Exo1.doc

Merci de me dire s'il y a des erreurs

[xyz1975]

Je suppose que le calcul des dérivées partielles est juste, lorsqu'on passe aux coordonnées polaires je vois pas comment vous avez simplifié, le dénominateur reste, non?
Lorsqu'on vous dit pourquoi le coéfficient de r est borné vous répondez par :
Cette fonction (le coéfficient de r) en @ est définie et continue sur [-pi,pi] qui est fermé et borné donc elle est bornée (toute fonction continue sur un compacte (fermé borné puisque on travaille dans un espace métrique) alors elle est bornée).
Pour la continuité de f en (0;0) vous n'êtes pas obligé de séparer les cas (|x|supérieur à|y| et inversement) je pense que les coordonnées polaires répondent à la question.

[Massanie]

Je suppose que le calcul des dérivées partielles est juste, lorsqu'on passe aux coordonnées polaires je vois pas comment vous avez simplifié, le dénominateur reste, non?

Qu'entendez-vous par "le dénominateur reste" ?

Merci pour les autres remarques !

[xyz1975]

1+cos²(@)-sin(2@) je pense pas qu'il est égal à 1

[Massanie]

Bon, finalement j'ai largement simplifié mes calculs en posant z = y-x.
Normalement, là, ça devrait être beaucoup plus clair (et correct, je l'espère)

http://dl.free.fr/n7oiXopHI/Exo1.doc

[xyz1975]

Mais non, si vous posez z=x-y alors z ne peut être que r(cos@-sin@), vous ne pouvez pas remplacer z x²+z² par r².
Laissez le dénominateur tel qu'il est :
[x²+(x-y)²]²=[(rcos@)²+(r(cos@-sin@))²]²=r^4[cos²@+(cos@-sin@)²]²
Comme la quantité [cos²@+(cos@-sin@)²]² ne s'annule pas alors le passage à la limite quand r tesnd vers 0 donne zéro vue que l'expression en @ est bornée.

[Massanie]

Je ne comprends pas bien pourquoi le dénominateur dont vous parlez ne s'annule pas ?

[xyz1975]

Non, ce que vous avez fait est bon sauf qu'il fallait garder la quantité [cos²@+(cos@-sin@)²]², lorsqu'on utilise las coordonnées polaires il faut mettre r comme facteur commun (lorsque c'est possible) si on vois que toute la quantité tend vers 0 indépendemment de @ an dit à ce moment là que la limite existe et elle vaut la valeur trouvée.
(je suppose encore une fois que vos calculs sont justes) :

On simplifie par r^4 on trouve :

Il est clair que cette dérnière quantité tend vers 0 lorsque r tend vers zéro et ceci pour toute valeur de @.

[xyz1975]

Je ne comprends pas bien pourquoi le dénominateur dont vous parlez ne s'annule pas ?

Tout simplement par ce que pour qu'il s'annule il faut que x=y=0 (ce que vous avez bien trouvé à la recherche de l'ensemble de définition) or cela veut dire que cos@=sin@=0 ce qui est impossible car le cos et le sin ne s'annulent pas en même temps.

[Massanie]

J'ai tout compris cette fois ! :-) Merci beaucoup pour tout le temps que vous avez passé sur mon exercice !!

[xyz1975]

Il n'y a pas de problème, s'il y a quelque chose qui vous échappe (après avoir corrigé) n'hésitez pas de signaler.