Dérivées partielles ordre 2.

[Kinoa]

Bonjour à tous,

Je bloque sur ceci :

Soit u(x,y) fonction possédant des dérivées partielles continues d'ordre 2 sur le domaine D = (0,) x (0, ).

On définit :

v(s,t) = u(e^(s+t), e^(s-t))

e = exponentielle.

--

On me demande de démontrer que :

x^2*u_xx + x*u_x = y^2*u_yy + y*u_y si et seulement si v_st = 0.

--

u_x = dérivée de u par rapport à x.

u_y = dérivée de u par rapport à y.


Et v_st, vous l'aurez compris, c'est la dérivée de v par rapport à s PUIS par rapport à t.


Pour me lancer, j'ai besoin de savoir comment écrit-on v_st ??

Car là je me perds un peu avec les règles de dérivation..


J'ai tout de même déjà abouti à ceci :



Si c'est correct, je n'aurai qu'a arranger cette expression pour aboutir, mais je ne parviens pas à avancer..

Merci d'avance !

[jlb]

c'est e^(s+t) ou e^s + t

bon j'espère que c'est la première version!!!

dv/dt=e^(s+t)du/dx - e^(s-t)du/dy

puis

d²v/dsdt= e^(s+t)du/dx +e^(s+t)*e^(s+t)d²u/dx² +e^(s+t)*e^(s-t)d²u/dydx - (e^(s-t)du/dy +e^(s-t)*e^(s+t)d²u/dxdy +e^(s-t)*e^(s-t)d²u/dy²)

d'où

d²v/dsdt=xdu/dx + x²d²u/dx²+xyd²u/dydx -ydu/dy-yxd²udxdy-y²d²u/y²


et comme u est C² d'après le th de Schwartz il reste d²v/dsdt= xdu/dx +x²d²u/dx² -ydu/dy-y²d²u/dy²

ce qui facilement donnera ta condition. [ le truc, bien connaitre df(x,y)/ds=dx/ds*df(x,y)/dx +dy/ds*df(x,y)/dy car sinon :mur: ]

[Kinoa]

Bonjour jlb,

Merci beaucoup pour la réponse. Oui c'est bien la première version, j'ai édité mon premier message :) !!

Donc si je comprends bien, tu as d'abord dérivé V par rapport à t puis à s, moi j'avais commencé par s puis je souhaitais faire t.

Et j'ai un petit soucis avec ce que tu as écris, j'ai toujours du mal à saisir le passage à cette expression, c'est d'ailleurs là tout mon soucis de départ :

d²v/dsdt= e^(s+t)du/dx +e^(s+t)*e^(s+t)d²u/dx² +e^(s+t)*e^(s-t)d²u/dydx - (e^(s-t)du/dy +e^(s-t)*e^(s+t)d²u/dxdy +e^(s-t)*e^(s-t)d²u/dy²)


Tu es parti de :

dv/dt=e^(s+t)du/dx - e^(s-t)du/dy

J'ai du mal à voir le passage de l'une à l'autre désolé.. Quelle est la règle de dérivation là en faite ?

Merci bien.

[jlb]

tu calcules d/ds(e^(s+t)*du/dx) avec règle produit et composée : cela donne e^(s+t)*du/dx + e^(s+t)d(du/dx)/ds et là tu appliques la même règle qu'au début d(du/dx)/ds = dx/ds * d(du/dx)/dx +dy/ds*d(du/dx)/dy

puis d/ds(e^(s-t))*du/dy) avec règle produit et composée (que j'ai rappelée au dessus) et tu additionnes tout, cela te donne

d((dv/dt))/ds (= d²v/dsdt)

voilà, mais bon, c'est chaud et il faut bien comprendre la règle dérivation d'une composée

[Kinoa]

Okay, je vais regarder ça de près, histoire d'être sûr que j'ai saisi ! Merci beaucoup pour ton aide :)!

[jlb]

j'ai rajouté les étapes du premier calcul au dessus, bon courage.

[Kinoa]

Merci bien !

C'est bon, j'ai réussi à refaire le calcul sans problème, effectivement il me manquait une des règle de dérivation, c'est pour ça que je bloquais..

Je n'aboutissais qu'a une partie à chaque fois.. Bref, c'est un truc à se rendre dingue cet exo :)

Merci encore pour ton aide !! :zen: