Dérivées nièmes d'Arctan

[max]

Bonjour!

Soit f(x) = 1/(1+x²)

J'ai calculé et démontré : la dérivée n ième de f



avec Pn un polynome de d° n don tous les monomes ont pour parité celle de n.


Ayant vérifié que 2x.f(x) + (1+x²).f'(x) = 0,

il faut que je dérive n fois cette relation afin d'obtenir

Pn+1(x) + 2(n+1).x.Pn(x) + n(n+1)(1+x²).Pn-1(x)=0

mais je n'y arrive pas.

pourriez vous m'aider?
merci!

[sandrine_guillerme]

Bonjour,

Tiens ceci si ça peut t'aider.

[max]

merci mais j'ai déjà démontré la dérivée n ièmes.

C'est dériver n fois la relation que je n'arrive pas à faire

[fahr451]

bonjour

connais tu la formule de leibniz?

si oui c 'est immédiat en sachant que les dérivées de x sont nulles à partir de la deuxième et celles de (1+x^2) à partir de la troisième

[Azuriel]

Oui, la formule de leibiz est en quelque sorte le binome des dérivées :

tu as ((1+x²).f'(x))(n) = Sum (k=0..n) (k parmi n) (1+x²)(k)*f(n+1-k)

où les (k) représentent les dérivées k-ieme.
Et en fait ta somme s'arrete a k=2 car au delà (1+x²)(k) =0.

Voila, ça te donne ta relation.

[max]

Oui, la formule de leibiz est en quelque sorte le binome des dérivées :

tu as ((1+x²).f'(x))(n) = Sum (k=0..n) (k parmi n) (1+x²)(k)*f(n+1-k)

où les (k) représentent les dérivées k-ieme.
Et en fait ta somme s'arrete a k=2 car au delà (1+x²)(k) =0.

Voila, ça te donne ta relation.

merci mais je n'ai pas de n* dans ma réponse??

[Azuriel]

Ba si les '(k parmi n) te donne les n qui apparaissent dans ta formule.

[max]

Ba si les '(k parmi n) te donne les n qui apparaissent dans ta formule.

oui merci je suis bête, j'avais arrêté mes sommes à 1 et 2 :we:

merci bcp