Racines niemes de l'unité

[maxv]

Voila mon enoncé,

Dans cet exercice n représente un entier supérieur ou égal a 2.

1. Soit x une racine nieme de l'unité, x different de 1.

a. montrer que 1+x+x^2+...+x^(n-1)=0
b. Calculer, en fonction de x, la valeur du nombre complexe:

S=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)


Je bute sur cette 2eme question, quelqu'un pourrait-il m'aider ?

[emdro]

Bonjour,

1a. Factorise x^n-1 par (x-1)
1b. Pense à la dérivée...

[maxv]

Pour la question a, j'ai exprimé x en exp(2ipi/n) et apres c'est la somme des premiers termes d'une suite géometrique, qui aboutit a 0.

Mais je ne vois pas comment dériver S.

[fahr451]

bonjour
S ne serait elle pas déjà une dérivée ?

[emdro]

Pour a, il y a plus simple:

Si x est une racine n-ième de l'unité,
Donc
Si de plus x n'est pas égal à 1, alors

Pour la b, tu peux repartir de cette même identité (au rang suivant)

Donc pour x différent de 1, .

En dérivant, tu auras à gauche ce que tu souhaites, et à droite la réponse!

[maxv]

A oui effectivement:

S=(x+x^2+...+x^n)'

Mais je dois exprimer S en fonction de x et pas de n.

[emdro]

Oui, au sens où c'est une fonction de x. Mais tu auras inévitablement du n.

Si tu penses le contraire, c'est que tu crois que le résultat de ne dépend de n. Il suffirait de prendre n=1 par exemple. Essaie alors avec d'autres valeurs de n, tu verras qu'on ne peut avoir le même résultat.

Edit: c'était la réponse à un message supprimé.

[maxv]

Et bien merci beaucoup, j'espere que ce n'est que l'effet des vacances prolongées et que ca se dissipera rapidement.

Cordialement