Dérivées directionnelles

[paulselvan]

bonjour,
ceci est une exo traitant de deivée directionnelle:
Soit f une foncton C1 de R² dans R
et deux vecteurs U, V et un point A ,tous de R²

Q1)Connaisant les dérivées partielles f'u et f'v de f dans les directions des vecteurs U et V au point A peut-on calculer la dérivée partielle de f en A dans n'importe quelle direction ?
voilà ma reponse :je suppose f'u et f'v sont les éléments du gradient de f=f(u,v) et qu'on apelle "f dans la direction de vecteur U" le produit scalire du vecteur U au gradient(f(A)) au point A..idem pour V.gradient(f(A))...mais je n'avance pas plus !est-ce qu'il faut exprimer "la dérivée directionnelle dans n'importe quelle direction" en fonction des des vecteurs U et V ?

Q2)Soit un vecteur W de R²
Calculer la dérivée de f dans la direction du vecteur W,sachant que l'on a :
f'u(A) = m, f'v(A) = n
là je plante
je vous donne une exo traitée par l'énoncé:
U(-5,3) , V(5,-6) , A(3.67,0.498) , f'u(A)=1 , f'v(A)=3 , W(5,-6)
et la bonne reponse au Q2) dans cette exemple est 3

[Maxmau]

Bonjour

La derivée directionnelle de f au point A suivant le vecteur X est:
(df/dX)(A) = où <..,..> désigne le produit scalaire

Si X = aU + bV est combinaison des vecteurs U et V, on a donc :
(df/dX)(A) = = a + b
= a (df/dU)(A) + b (df/dV)(A)

[paulselvan]

bonjour
je ne saisis pas l'écriture : U.gradient(f(A)) = (df/dU)(A)

je suppose que (df/dU)(A) veut dire dérivée de la fonction f au point A par rapport au vecteur U...cmnt peut-on deriver par rapport à un vecter?

[Maxmau]

bonjour
je ne saisis pas l'écriture : U.gradient(f(A)) = (df/dU)(A)

je suppose que (df/dU)(A) veut dire dérivée de la fonction f au point A par rapport au vecteur U...cmnt peut-on deriver par rapport à un vecter?

La derivée directionnelle de f au point A suivant le vecteur X est la dérivée de f(A+tX) par rapport à t en t=0. Je la note (df/dX)(A). On montre que c’est le produit scalaire du gradient de f au point A par le vecteur X
( (df/dX)(A) = )

[paulselvan]

bonjour,
d'un point de vue théorique tout cela m'est clair :soit W =aU+bV (U et V non liés) alors W.grad[f(A)] = (aU+bV).grad[f(A)] represente dérivée directionnelle dans toute direction
...mais cmnt on a trouvé la solution 3 au Q2) de l'exo traitée (en vert),sincèrement je ne vois pas le cheminement

[abcd22]

Bonjour,

soit W =aU+bV (U et V non liés) alors W.grad[f(A)] = (aU+bV).grad[f(A)] represente dérivée directionnelle dans toute direction

C'est (grad f)(A), on parle de gradient d'une fonction, pas de gradient d'un nombre.

...mais cmnt on a trouvé la solution 3 au Q2) de l'exo traitée (en vert),sincèrement je ne vois pas le cheminement

Pour répondre à la question 1 on décompose W dans la base (U, V) : W = aU + bV, et on a une formule qui donne f'W en fonction de a, b, f'U et f'V, il suffit de l'appliquer.

Pour le 1, sans utiliser le gradient (je trouve ça plus naturel, la propriété importante à utiliser ici, c'est la linéarité de la différentielle en un point) : f est de classe C¹, donc par définition il existe une application linéaire df(A) de R² dans R telle que f(A + h) = f(A) + df(A)(h) + o(h) quand h tend vers 0. La dérivée de f en A dans la direction du vecteur U est égale à df(A)(U), qui est noté f'U ici. df(A) étant linéaire, f'(aU + bV) = df(A)(aU + bV) = ...

[Maxmau]

bonjour,
d'un point de vue théorique tout cela m'est clair :soit W =aU+bV (U et V non liés) alors W.grad[f(A)] = (aU+bV).grad[f(A)] represente dérivée directionnelle dans toute direction
...mais cmnt on a trouvé la solution 3 au Q2) de l'exo traitée (en vert),sincèrement je ne vois pas le cheminement

W.gradf(A) = (aU+bV).gradf(A) = a + b
= 1 , = 3
Mais ici W = V = 0 U+1 V d’où a=0 et b=1
Conclusion : W.gradf(A) = = 3

Donc en fait la réponse est immediate puisque W = V (énoncé bizarre…???)

Excuse: j'ai mélangé les 2 notations pour le produit scalaire: la tienne et la mienne.

[paulselvan]

avec l'exemple traitée c'est plus net...
en fait tout le pb vient de l'énoncé, où l'on confond royalement les notations de:
f'u (dérivée de la fonction f en fonction de sa variable u)
et le produit scalaire gradient(f).U qu'ils notent également f'u !!

pb résolu,merci :we:

[Maxmau]

f'u (dérivée de la fonction f en fonction de sa variable u)
pb résolu,merci :we:

Je pense que f'u désigne bien ici la dérivée suivant le vecteur u mais cela entraine une confusion car la notation f'u désigne habituellement la dérivée par rapport à la variable u.
A+