Derivées directionelle

par **nemesis** » 04 Mai 2007, 19:43

bonsoir
comment montrer que su une fonction différentiable alors elle admet des dérivées dans toutes le directions

merci d'avance

par **fahr451** » 04 Mai 2007, 19:45

bonsoir

avec des notations usuelles

f(a + th) est dérivable en t= 0

par **nemesis** » 04 Mai 2007, 20:10

merci de ta reponse mais je vois pas bien ce que tu veux dire ? :doh:

par **fahr451** » 04 Mai 2007, 20:17

ah
reprenons

quelle est la définition de f admet en a une dérivée par rapport au vecteur h ?

par **nemesis** » 04 Mai 2007, 20:20

ah oui c'est bon je vois ce que tu voulais dire ,c'est donc
lim t-->0 (f(x0,y0)+tU) - f(x0,y0))/t

et qu'est ce que j'en fais ;maintenant ?

par **thedream01** » 04 Mai 2007, 20:21

la derivée directionnelle de f au point (x0,y0) dans la direction u, la derivée en s=0, de la fonction: fu:s |-> f((x0,y0)+su).
Je pense qu'il faut partir de ça...

par **fahr451** » 04 Mai 2007, 20:26

entendu némesis c est donc la dérivée en t = 0 de k

avec k (t) = f(a+th) or

k = f°g avec g(t) = a+th

f est différentiable , g est différentiable (dérivable) donc k différentiable (dérivable)

reste à calculer k ' (t) ?

par **nemesis** » 04 Mai 2007, 20:30

aprés avoir calcule k'(t) ,comment faire pour avoir les derivees en toute directions pour f ?

merci encore pour vos reponses

par **fahr451** » 04 Mai 2007, 20:32

que vaut k ' (t) ?

rappel k'(0) est par définition ( si elle existe) la dérivée de f en a suivant h

par **nemesis** » 04 Mai 2007, 20:39

c'est donc lim t-->0 (f(a+th)-f(a))/t quelque soit h
alors elle accepte des dérivée dans toutes directions suivant le vecteur h :hein: ?

par **fahr451** » 04 Mai 2007, 20:43

cette dérivée n'existe pas a priori ( on cherche à le prouver)
c'est k'(0) sous réserve d'existence
je l'ai fait en fait

k = f°g
f et g différentiables donc k aussi voila fin de la preuve

je te demande juste de calculer k ' en fonction de df

par **nemesis** » 04 Mai 2007, 20:47

peut-tu me dire pourquoi cette derivé n'existe pas stp
par ce que la je commence un peu a m'enbrouiller

par **fahr451** » 04 Mai 2007, 20:52

visiblement oui
je reprends tout

on cherche à montrer que f ADMET une dérivée suivant h au point a

c est lim [f(a+th) -f(a)] /t pour t->0

c'est donc k ' (0) sous réserve d 'existence

or k = f°g f et g étant différentiables k l'est ce qui équivaut à k dérivable
et voila

par **nemesis** » 04 Mai 2007, 20:55

donc si je comprend bien (je l'espère trés fort) je dois juste montrer que k'(o) existe ?

par **fahr451** » 04 Mai 2007, 20:58

oui mais en plus je l 'ai fait

tu sais que la composée de deux fcts différentiables l'est oui ou non ?

or différentiable équivaut à dérivable pour une fonction d 'une seule variable

par **nemesis** » 04 Mai 2007, 20:59

ouai ouai c'est bon maintenant
merci de ton aide
et de m'avoir supporté

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