Dérivée d'un produit de Blaschke

[johnatan59]

Bonjour,

Je cherche à comprendre une démonstration concernant les produits de Blaschke finis. Il a été démontré que si B est un produit de Blaschke fini d'ordre n alors la dérivée de B, B', a exactement n-1 zéros dans le disque unité.

On commence par montrer ce résultat dans le cas où les zéros de B sont distincts et où ni B ni B' ne s'annulent à l'origine.
Pour cette partie je n'ai pas de problème.

Pour montrer le cas général , on approche B par une famille de produits de Blaschke finis avec n zéros distincts et tels que B et B' ne s'annulent pas en 0. Cette convergence est uniforme sur tout compact du disque unité. On sait d'après la première partie que les ont exactement n-1 zéros dans le disque unité et on veut montrer que c'est le cas aussi pour B'.
Cette partie de la démonstration n'est pas détaillée et j'essaie de la faire par moi même.

Pour cela, je note les zéros de qui sont dans le disque unité.
Quitte à considérer des sous suites convergentes on considère que les suites convergent vers un complexe .

J'aimerais montré que converge vers avec convergence uniforme sur tout compact du disque unité.

Si je parviens à montrer cela le théorème qui dit que si converge uniformément sur tout compact d'un ouvert U et si ne s'annule pas sur U alors soit f est nulle, soit f ne s'annule pas sur U me permettrait de conclure.

Pouvez-vous m'aider pour la convergence uniforme s'il vous plait?

Merci pour votre aide

Jo

[zygomatique]

salut

et c'est quoi un produit de Blaschke ?

[johnatan59]

Bonsoir,
Un produit de Blaschke fini est un produit de la forme où les sont des complexes qui se trouvent dans le disque unité.