Demonstration de la dérivée et de la continuité du produit de convolution

[franz2b]

Bonjour tout le monde.
Voila mon professeur nous a donné une demonstration tres peu détaillée de la dérivée du produit de convolution ainsi que sa continuité:

Si
f appartient a l'espace des fonctions cont, une fois derivable de derivée cont et a support compact dans les reels ( f dans C(1,c)(R) )
Et g f appartient a l'espace des fonctions localement integrables dans les reels pour la norme 1 ( g dans L(1,loc)(R) )

Alors
¤ f*g appartient à C1(R)
¤ d/dt(f*g)=d/dt(f)*g

DEMO:
(au prealable je signale que je note S l'integrale ie Sf(t).dt)

on pose Ie(t)=[(f*g)(t+e)-(f*g)(t)]/e

=S(f(t-s+e)-f(t-s))g(s).ds/e

voila le depart, apres, tout devient incomprehensible....

...j'avais une demo simple en utilisant la cv dominée, mais apparement c'est pas ca..

Please si vous pouvez détailler d'ou viennent les majorations et les passages de la limite a l'interieur de l'integrale, ce serai genial.
precisez aussi quoi prouve la continuité et quoi etablie l'egalité

merci infiniment