Dérivée directionnelle

[MacManus]

Bonjour.

Soient et . On appelle dérivée directionnelle de en dans la direction la limite, si elle existe :



Montrer que si est dérivable au point , alors :
(i) existe
(ii) (les dérivées coïncident)

bon... f dérivable en a... ok je connais la définition, mais je ne parviens pas à m'y retrouver. Je trouve par exemple . Ce qui correspondrait au gradient de f en a dans la direction d.... mais sinon...

merci à vous.

[Doraki]

Tu peux rappeler la définition de f'(a) ?

[windows7]

f(a+h)=f(a)+L(h) + o(N(h))

L(h)=df(a) selon h

[MacManus]

Tu peux rappeler la définition de f'(a) ?

Il y a plusieurs façon de l'écrire évidemment...
(d'après mes notations)

... ou comme l'a dit windows7

[Doraki]

Il y a plusieurs façon de l'écrire évidemment...
(d'après mes notations)

Comment on divise par un vecteur ?

[MacManus]

il faut que ce vecteur en question soit colinéaire à un autre vecteur non ?

[Doraki]

Mais, regarde ta formule : tu divises un réel par un vecteur.

[MacManus]

oui h est un vecteur de , ce n'était pas précisé...
Je dois en fait utiliser la définition de la dérivabilité au sens de Fréchet :
f(a+h) = f(a) + L(h) + o(N(h)) (comme l'a dit windows7)

on aurait alors f(a+hd) = f(a) + L(hd) + o(N(hd)) pour tout vecteur d ?

[Doraki]

oui sauf que dans ta première ligne, h est un vecteur,
alors que dans ta deuxième ligne, h est réel, ce qui peut prêter à confusion.


Le f'(a) de l'énoncé, c'est quoi ? l'application linéaire L ?

[busard_des_roseaux]

Salut,

il me semble que c'est la dérivée au sens de Gâteaux

dans la direction

si f différentiable,alors f est dérivable dans toutes les directions
au sens de Gâteaux



il me semble que la réciproque est fausse, on peut être
dérivable dans toutes les directions, et pas différentiable
en particulier si f n' est pas (?)

exhiber un contre-exemple

[MacManus]

oui sauf que dans ta première ligne, h est un vecteur,
alors que dans ta deuxième ligne, h est réel, ce qui peut prêter à confusion.

oui tu as raison.

Le f'(a) de l'énoncé, c'est quoi ? l'application linéaire L ?

et bien... je ne sais pas c'est noté tel quel. C'est certainement l'application linéaire L.

[MacManus]

il me semble que la réciproque est fausse, on peut être dérivable dans toutes les directions, et pas différentiable
en particulier si f n' est pas (?)

exhiber un contre-exemple

oui par exemple le contre-exemple suivant :



pour tout vecteur d de R², les dérivées directionnelles f '(0,d) existent, mais f n'est pas continue en 0. (ie : n'est pas différentiable en 0)

[busard_des_roseaux]

Bon, ben voilà,

si f est une application de dans

si f est différentiable en un point a, c'est une propriété forte,
qui concerne tout un voisinage de a.Dans , les voisinages de contiennent des boule ouvertes de centre a, et donc être différentiable a un aspect isotropique. La différentiabilité marche dans toutes les directions et on teste avec l'application linéaire "différentielle"




par contre , la réciproque est fausse, f peut être dérivable dans toutes les directions, si ce phénomène de dérivabilité est anisotrope, c'est à dire ne possède pas une certaine continuité projective, alors c'est fichu
et l'application n'est pas différentiable en x=a

pourquoi projective, et ben, df(a) est une application linéaire de dans , elle va opérer sur les grassmaniennes,
ie, sur les variétés affines, les sous-espaces vectoriels qui intersectent localement les boules de centre a. Et donc, pour que f soit différentiable, il ne suffit pas que ses restrictions à des variétés affines le soient.