Dérivée de x dans R ---> exp(ix)

[ingenio]

Bonjour

Alors voilà toute l'histoire,

on nous introiduis cosinus et sinus, de mon temps dès la 3e, en s'appuyant sur le théorème de Thalès qui au niveau 3e ne s'appuie que sur votre bon vouloir.

Je voudrais qu'on se replace, cela me semple légitime à partir du bac, dans la théorie des ensemble ?

pourquoi parc eque toute la science vient d'un certain monsieur rené descartes, qui nous avait dit de choisir des axomes et ensuite de ne considérer "comme vrai " que ceu qui en découlait; il se trouve que j'approuve ce qu'à dit monsieur descarte.

Donc la définition de cos x et de sincx version 3e (ou peut-être mainteneant 2e) ne me convient pas.
________________________

Dans la théorie des ensemble

On va prendre un x réel,
i est le fameux complexe qu'on connait
et la suite u
définie pâr un(x) = Sigma (ik)/k! de k = 0 à n

On peut admettre car il serait pas difficile de citer les rééférences, que
pour tout x un(x) est convergente.Et on va poser u(x)= exp(ix) sa limite

On peut peut-être écrire une démonstration de niveau terminale, ou L1 voire L2 s'il le faut qui montre que la fonction u est dérivale pur x réel que que en ce point elle vaut i*exp(ix).

[Nightmare]

Re bonjour,

Seulement 2 posts de ta part, et je ne te prends déjà plus au sérieux... ce que tu écris n'a franchement pas grand sens, que ce soit au niveau mathématique qu'au niveau du français.

"le théorème de Thalès qui au niveau 3e ne s'appuie que sur votre bon vouloir". Ca ne veut rien dire....

Ensuite, la théorie des ensembles, c'est quand même loin d'être la base de tout, et je pense pas franchement que parler de théorie des ensembles lorsqu'on veut introduire les fonctions trigonométrique soit une approche très pertinente.

Enfin, admettons que je continue à lire ton post avec sérieux, j'y trouve "la suite u définie par un(x)=Sigma (ik)/k! de k=0 à n"

qui est x ? Pourquoi un n'en dépend pas ?

[Anonyme]

Que vient faire Descartes dans la Theorie des ensembles ? :ptdr:

[Nightmare]

tout ce qui découle de cette axiomatique est vraie,
tous ce qui la contredit est faux, le reste ON S'EN FICHE.

Rien que ça, aucun mathématicien ne pourrait le prendre au sérieux. Tu ne sais pas de quoi tu parles, déjà, penser qu'il existe un système d'axiome qui décrit toutes les mathématiques, c'est le plus bel aveu d'ignorance face à cette discipline... Les géométrie non Euclidienne ça te dit quelque chose?

Et concernant la théorie des ensembles, si j'ai bien compris tes propos, tous les mathématiciens qui travaillaient sans celle-ci (et ça en fait un beau paquet, étant donné que la théorie des ensembles a été formalisée au 19ème siècle...) n'ont énoncé que des résultats faux et incohérent, c'est ça?

Tu ne sais clairement pas de quoi tu parles, ça me suffit pour clore cette discussion.

A bon entendeur.

Au passage, si le sujet t'intéresse vraiment et que tu as cette fois-ci envie d'avoir un avis pertinent sur la question, je t'invite à lire les oeuvres de Gödel...

[Doraki]

Donc on s'en fiche du théorème de Thalès, de l'axiome du choix et de la cohérence de la théorie des ensembles ?

[Olympus]

@ingenio : tu n'es pas très crédible en recopiant mot par mot ce qu'il y a dans cet article de Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles .

[girdav]

Le troll est aussi ici.

[ingenio]

Rien que ça, aucun mathématicien ne pourrait le prendre au sérieux.

Affirmation non prouvée

Tu ne sais pas de quoi tu parles,

Affirmation non prouvée
déjà, penser qu'il existe un système d'axiomes qui décrit toutes les mathématiques, c'est le plus bel aveu d'ignorance face à cette discipline...
[/quote]
Lobatchevski et Riemman, tu me fais dire ce que je n'ai pas dis: je n'ai jamais dit que tu ne pouvais pas utiliser les autres axiomatiques, je t'ai demander de procéder rigoureusement selon la méthode Descartes-Bourbaki (Henri-cartan)-mathématiques modernes, en partant de l'axiomatique de ton choix. Le fait que je n'ai cité que ZF provient uniquement du fait que en seconde 1ereS,1ere ES, 1èreL, TS, TES, TL, on n' apas besoin me semble-t-il des axiomatiques Lobatchewski ou Riemann.,

Les géométrie non Euclidienne ça te dit quelque chose?

un raisonnement logique qui s'appuierait sur ce que j'ai vraiment dit et non sur ce que tu dis que j'ai dit, cela te dit quelque chose ?

Et concernant la théorie des ensembles, si j'ai bien compris tes propos, tous les mathématiciens qui travaillaient sans celle-ci (et ça en fait un beau paquet, étant donné que la théorie des ensembles a été formalisée au 19ème siècle...) n'ont énoncé que des résultats faux et incohérent, c'est ça?

J'assume , d'ailleurs les mathématiciens fin du XIXe l'on avoué eux même, ils avaient laissé un beau bord...
, il allait falloir tout reconstruire en ordre.
A l'époque dont tu parles on avait pas encore remarqué que certains prédicat comme "x n"appartient pas à x" par exemple, ne pouvait être associés à des ensembles, donc OUI les maths de cette époquie c'était le bord..., un beau bord..., que les prof de collèges ou essayé de reconstituer depuis le début des années 1990 jusqu'en 2005.

Tu ne sais clairement pas de quoi tu parles, ça me suffit pour clore cette discussion.

A bon entendeur.

Au passage, si le sujet t'intéresse vraiment et que tu as cette fois-ci envie d'avoir un avis pertinent sur la question, je t'invite à lire les oeuvres de Gödel...

C'est fait depuis longtemps.
Tu fais bien de t'éclipser, car , je compte faire des mathématiques, des vraies.

[fatal_error]

pour revenir au post initial, s'il fallait tout démontrer dans le secondaire, c'est mort.

Avant même de définir e^{ix}, ne serait-ce que définir le nombre i.

PS :

Tu est hors Descartes, tu es HORS MATHEMATIQUES

iyf nightmare :ptdr:

[Nightmare]

Lobatchevski et Riemman, sophisme tu me fais dire ce que je n'ai pas dis: je n'ai jamais dit que tu ne pouvais pas utiliser les autres axiomatiques, je t'ai demander de procédéer rigoureusement selon la méthode Descartes-bourbaki (Henri-cartan)-mathématiques modernes, en partant de l'axiomatique de ton choix. Le fait que je n'ai cité que ZF provient uniquemente du fait que dans l'enseignement secondaire on a apas besoisn me semble-t-il des axiomatiques Lobatchewski ou Riemann.,

affirmation non prouvée

J'asume , d'ailleur les mathématicien fin du XIXe l'on avoué eux m^me, ont a laissé un beau bord...
, il va falloir tout reconstruire en ordre.
A l'époqu dont tu parle on avait pas encore remarquer que certaisn prédicat X n"appartient pas à x par exemple, ne pouvait êter associé à des ensembles, donc OUI les maths de cette époquie c'était le Bord..., un beau bord;;;;, que les prof de collèges ou esayé de reconstituer début des années 1990.

affirmation non prouvée

Tu fais bien de t'éclipser, car , je compte faire des mathématiques, des vraies.
C'est fait depuis longtemps

affirmation très loin d'être prouvée.


En fait c'est facile d'avoir une conversation avec toi, j'aime :happy3:

Dans quel système d'axiome tu te places pour affirmer que ce que tu dis dans ce topic est vrai ? :lol3:

[Anonyme]

Dans quel système d'axiome tu te places pour affirmer que ce que tu dis dans ce topic est vrai ? :lol3:

Je suis le seul a connaitre les VRAI maths.
J'ai toujours raison.
Nightmare a tord.
Descartes est un mot passe partout.

[Nightmare]

J'ai toujours raison.
Nightmare a tord.
Descartes est un mot passe partout.

Dommage, j'ai toujours vécu avec le système axiomatique contraire : j'ai toujours raison et les autres toujours tort :lol3:

[Doraki]

Moi j'me souviens qu'on nous avait démontré le théorème de Thalès avec des vecteurs.
Je vois pas pourquoi il serait pas exprimable en théorie des ensembles comme tout le reste.

Ce dont je ne me souviens pas c'est comment définir la fonction cos : R -> R en utilisant thalès.

[Nightmare]

Doraki > Il me semble que si l'on définit cos comme on le fait au collège, à savoir dans un triangle rectangle, on a besoin de Thalès pour s'assurer que les rapports adj-opp / hypoténuse ne dépendent pas du triangle rectangle mais uniquement de l'angle.

:happy3:

[Doraki]

Mais si on définit cos = machin pour un triangle dont l'hypothénuse mesure 1 unité, y'a pas besoin d'avoir thalès pour avoir une définition de cos (après il faut thalès pour montrer que ça marche pour les autres triangles).

Et puis après il faut aussi définir comment on mesure un angle.

[ffpower]

Oui, la mesure de l'angle, c'est surtout ca le truc délicat à définir rigoureusement. Effectivement, en utilisant la définition formelle de exp puis cos par le développement en série entiere, on peut y arriver, mais c'est compliqué ( faire du calcul sur des séries entieres en 3eme..hum) et hautement non intuitif. A haut niveau, ça reste la méthode p-e la plus efficace (j'aime bien l'intro du Rudin la dessus), mais à bas niveau, la définition "on mesure de combien on tourne" me semble suffisante. C'est la définition naive (et il vaut toujours mieux commencer par la def naive, histoire de comprendre de quoi on parle), et contrairement à ce que semble croire Ingenio, elle peut être rendue rigoureuse ( ça revient à définir des longueurs d'arcs du cercle unité, ce qui peut se faire..)

[Nightmare]

Mais si on définit cos = machin pour un triangle dont l'hypothénuse mesure 1 unité, y'a pas besoin d'avoir thalès pour avoir une définition de cos (après il faut thalès pour montrer que ça marche pour les autres triangles).

Je suis tout à fait d'accord ! Maintenant, tel que c'est enseigné au collège, à savoir qu'on définit cos comme le rapport adj/hyp peu importe le triangle rectangle considéré, là on a besoin de Thalès.

Et puis après il faut aussi définir comment on mesure un angle.

Oui, mais c'est une toute autre et longue histoire...

:happy3:

[ingenio]

Affirmation non prouvée

Affirmation non prouvée
déjà, penser qu'il existe un système d'axiome qui décrit toutes les mathématiques, c'est le plus bel aveu d'ignorance face à cette discipline...

Lobatchevski et Riemman, tu me fais dire ce que je n'ai pas dis: je n'ai jamais dit que tu ne pouvais pas utiliser les autres axiomatiques, je t'ai demander de procéder rigoureusement selon la méthode Descartes-Bourbaki (Henri-cartan)-mathématiques modernes, en partant de l'axiomatique de ton choix. Le fait que je n'ai cité que ZF provient uniquemente du fait que dans l'enseignement secondaire on a apas besoisn me semble-t-il des axiomatiques Lobatchewski ou Riemann.,
un raisonnement logique qui s'appuierait sur ce que j'ai vraiment dit et non sur ce que tu dis que j'ai dit, cela te dit quelque chose ?

J'assume , d'ailleurs les mathématicien fin du XIXe l'on avoué eux même, ont a laissé un beau bord...
, il va falloir tout reconstruire en ordre.
A l'époque dont tu parles on avait pas encore remarqué que certains prédicat comme "x n"appartient pas à x" par exemple, ne pouvait êter associés à des ensembles, donc OUI les maths de cette époquie c'était le bord..., un beau bord..., que les prof de collèges ou essayé de reconstituer depuis le début des années 1990 jusqu'en 2005.

C'est fait depuis longtemps.
Tu fais bien de t'éclipser, car , je compte faire des mathématiques, des vraies.[/quote]

Je ne te demande pas de tout redémontrer, je te demande de suivre un chemin lié par la logique entre axiomatique et résultat. Tu peux bien entendu utiliser des racourcis en citant des théorèmes et le livre et l'auteur où on peut les trouver, à condition que les démonstrations s'inspire de la même méthode.

Je suis le seul a connaitre les VRAI maths.
J'ai toujours raison.
Nightmare a tord.
Descartes est un mot passe partout.

Exact !

Moi j'me souviens qu'on nous avait démontré le théorème de Thalès avec des vecteurs.
Je vois pas pourquoi il serait pas exprimable en théorie des ensembles comme tout le reste.

Ce dont je ne me souviens pas c'est comment définir la fonction cos : R -> R en utilisant thalès.

Ne cherche pas.

[ingenio]

Bon, les gars comme d'habitude , les troll vont vous donner la démonstration exacte, pendant que les "bien pensants" vont raccontent des salades.
____________

Pendant ce telmps les gens bien pensants, vont continuer avec une fonction définie ainsi
a) Je démontre que le cercle trigonométrique est rectifiable et je pose
pi = longuer du cercle /2

a) je prends un nombre x réel, je lui associe son représentant dans [0,2pi[

c) je considère le point M du cercle trigonométrique, tel que l'arc OM parcouru dans le sens trigonométrique, il faudra nighmare que tu nous explique ce que c'est

d) je lui associe le point H projection orthogonale de M sur x'Ox

J'ASSOCIE DIRECTEMENT A x le rapport OH/OM attention OH en valeur algébrique
, j'ai construit ainsi une fonction que moi je n'oserai appeler que co
et si vous avez pu démontrer Thalès avec les axiomes ZF (c'est peutêtre possible en analytique, bien que lourd et inutile) ce rapport vaut aussi OH'/OM' , OH' en valeur algébrique, avec M' autre point de (O,M) et H sa projection ortogonale sur x'Ox
J'ASSOCIE DIRECTEMENT A x le rapport HM/OM , attention HM en valeur algébrique
j'ai construit ainsi une fonction que moi je n'oserai appeler que si
et si vous avez pu démontrer Thalès avec les axiomes ZF (c'est peutêtre possible en analytique, bien que lourd et inutile) ce rapport vaut aussi H'M'/OM', H'M' en valeur algébriqueavec M' autre point de (O,M) et H sa projection ortogonale sur x'Ox
_________________________

Nighmare, est ce que tu te rend compte que tu te fiches de la gueule de tes élèves ne leur faisant croire qu'alors qu'ils ne disposent pas encore des particularité que je vais déduire de ma fonction
R--->C x----> exp(ix)

tu est capable de démontrer qu'un arc est rectifiable , où de trouver un point M sur le cercle trigonométrique tel que la "longueur " que tu aurais su par je ne sais quel miracle calumer vaut précisément y
Quand bien même tu y arriverais, reconnais, que c'est bien plus complexe que ceci:
____________________________
soit un réel x

On étudie le rapport {exp [i(x+h)] -exp(ix)}/h

Il semble intéressant d'étudier

{Sigma p=0 à n [i(x+h)]^p/p! -Sigma de p= 0 à n de (ix)^p/p/p!}/h
ou encore de la suite

(1/h)* Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}

Il semble intéressant d'étudier
[i(x+h]^p-(ix)^p
_________________

On sait que si on a une application définie f sur un intervalle fermé [a,b]
dérivable dans ]a,b[,
à valeur dans C
que intégrale de a à b de f'(w) dm(w) =f(b)-f(a)

Ne faites pas attention au m, c'est ma notation personelle, et oui je me permet pour indiquer qu'un d symbolyse une différeniele donc s'applique à une fonction ou à une mesure et qu'on ne peut donc l'appliquerà une variable, mon m c'est la mesure de Lebesques

Bon, je pense que je n'ai pas besoin de repartir des axiomes, on
connait un chemin direct axiome -ce résultat.

Application

Soit v une application de [0,1] vers C
on a
f(1)-f(0) = Int 0,1 w'(u) dm(w)
ou
f(1)= f(0) + Int 0,1 w'(u) dm(w)


Alors , applicons ce résultat avec la fonction ainsi définie
x est un réel h un réel, p un entier >2

fxh(u) = [i*(x+uh)]^p
f'xh(u) = p*i*h*[i*(x+uh)]^(p-1)

fxh(1)= fxh(0) + Int 0,1 fxh'(u) dm(w)
= fxh(0) - Int 0,1 (-1)*fxh'(u) dm(w)
= fxh(0) - Int 0,1 (-1)*fxh'(u) dm(w)
= fxh(0) - Int 0,1 (1-u)' * fxh'(u) dm(w)

On fait une intégration par parties.
Tu dois t'attendre a ce que j'intégre fxh'(u) mais ce serait revenir au
point de départ,
c'est au contraire (1-u)' que l'on va intégrer
et fxh'(u) que l'on va dériver


fxh(1)
=fxh(0) - {[(1-u)* fxh'(u)] entre 0 et 1 -Int 0,1 {(1-u) * fxh"(u)} dm(w)}
=fxh(0) - {[0 -fxh'(0)]-Int 0,1 {(1-u) * fxh"(u)} dm(w)}
=fxh(0) - [0 -fxh'(0)] + Int 0,1 {(1-u) * fxh"(u)} dm(w)
=fxh(0) +fxh'(0) + Int 0,1 {(1-u) * fxh"(u)} dm(w)
fxh(1)=fxh(0) +fxh'(0) + Int 0,1 {(1-u) * fxh"(w)} dm(w)

remplaçons, on rappelle que p>1

on rappelle que fxh(u) =[i(x+wh)]^p

donc fxh'(u)= p*i*h*[i*(x+wh)]^(p-1)

donc fxh"(u) = p*i*h*(p-1)*(ih)*[i(x+wh)]^(p-2)
= (-1)*(p-1)*p*h²*[i(x+wh)]^(p-2)
=-(p-1)*p*h²*[i(x+wh)]^(p-2)


donc fxh(1) =[i(x+h)]^p
et fxh(0) =(ix)^p
et fxh'(0) = p*i*h*(i*x)^(p-1)

donc de
fxh(1)=fxh(0) +fxh'(0) + Int 0,1 {(1-u) * fxh"(w)} dm(w)
on tire

[i(x+h)]^p=
(ix)^p + p*i*h*(i*x)^(p-1)
- Int 0,1 {(1-u) * (p-1)*p*h²*[i(x+wh)]^(p-2)dm(w)

= (ix)^p + p*i*h*(i*x)^(p-1)
- (p-1)*p*h²*Int 0,1 {(1-w) * *[i(x+wh)]^(p-2) dm(w)

Ce qui nous intéressait c'était
{[i(x+h)]^p-(ix)^p}/h
cela vaut
p*i*(i*x)^(p-1)- (p-1)*p*h*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2) dm(w)


{[i(x+h)]^p-(ix)^p}/h
=
p*i*(i*x)^(p-1) -(p-1)*p*h*Int 0,1 {(1-w)[i(x+wh)]^(p-2) dm(w)
________________
N'oublions pas le but, il s'agissait d'étudier

(1/h)* Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}

or nous n'avons de renseignement que pour p>1
(1/h)* Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}
=
(1/h)* {[i(x+h]^0-(ix)^0}/0!}
+
(1/h)* {[i(x+h]^1-(ix)^1}/1!}
+
(1/h)* Sigma de p= 2 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}
=
(1/h)* (1-1)/0!
+
(1/h)* {[i(x+h)-(ix)}/1!}
+
(1/h)* Sigma de p= 2 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}
=
(1/h)*0/p! + (1/h)*[ix+ih-ix]/1! +
(1/h)* Sigma de p= 2 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}
=
0 + (1/h)*(ih)/1! +(1/h)* Sigma de p= 2 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}
=
i/1+Sigma de p= 2 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}
_______________________
(1/h)* Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}
=
i+Sigma de p= 2 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}
______________
(1/h) {Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p}- (ix)^p}/p!} -1
=
Sigma de p= 2 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}

________________

pour p>1

on a établi que

{[i(x+h)]^p-(ix)^p}/h =

p*i*(i*x)^(p-1) -(p-1)*p*h*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)

donc en divisant chaque terme par p! et en sommant de 2 à n,

(1/h){Sigma 2,n [i(x+h)]^p/p!-Sigma 2,n{(ix)^p}/p!
=Sigma 2,n { p*i*(i*x)^(p-1)}/p!
- Sigma 2,n {(p-1)*p*h*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)}/ dm(w)}/p!
___________________________________________________
Majorations

a) majoration de l'intégrale

I(x,h,p,w)= Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)

Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)
=<
Int 0,1 {|1-w| * |i(x+wh|^(p-2)} dm(w)

=<
Int 0,1 {|1-w| * |i(x+wh|^(p-2)} dm(w)

=<
Int 0,1 { 1 * |i|^(p-2)*|x+wh|^(p-2)}*dm(w)
=<
Int 0,1 { 1^(p-2)*{|x|+|wh|}^(p-2)}dm(w)
=<
Int 0,1 { 1*{|x|+|h|}^(p-2)}dm(w)
=<
Int 0,1 {|x|+|h|}^(p-2)}dm(w)
=<
{|x|+|h|}^(p-2)}*Int 0,1 dm(w)
=<
{|x|+|h|}^(p-2)}*1
=<
{|x|+|h|}^(p-2)}
_________________
b) majoration de
Sigma 2,n {(p-1)*p*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)*(1/p!)


|Sigma 2,n {(p-1)*p*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)[/b]|
=<
Sigma 2,n |(p-1)*p*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)|dm(w)*(1p!)|
=<
Sigma 2,n |p-1|*|p|*|Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)}|1/p!]
=<
Sigma 2,n (p-1)*p*{|x|+|h|}^(p-2)}*(1/p!)
=<
Sigma 2,n [(p-1)*p]/p!{|x|+|h|}^(p-2)}
=<
Sigma 2,n [1/(p-2)!]{|x|+|h|}^(p-2)}
=<
Sigma 2,n {|x|+|h|}^(p-2)}/(p-2)!
=<
Sigma 0, n-2 {|x|+|h|}^p/p!}
=<
exponentielle(|x|+|h|)
______________________________
donc
(1/h) {Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p} - Sigma de p= 0 à n {(ix)^p}}
=
i+Sigma de p= 2 à n {[i(x+h]^p-(ix)^p}/p!}
_____________________
(1/h) {Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p} - Sigma de p= 0 à n {(ix)^p}}-i
=
(1/h)*Sigma de p= 2 à n [i(x+h]^p-(ix)^p}/p!
=
(1/h)* {Sigma de p= 2 à n {[i(x+h]^p-Sigma de p= 2 {(ix)^p}/p!}}

______________
or on a établi que
Sigma de p= 2 à n {[i(x+h]^p/p!-Sigma de p= 2 {(ix)^p}/p!}}
=
Sigma 2,n { p*i*(i*x)^(p-1)}/p!
- Sigma 2,n {(p-1)*p*h*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)}/ dm(w)}/p!
________________________
donc
(1/h)
{Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p}/p! - Sigma de p= 0 à n {(ix)^p}/p!}-i
=
Sigma 2,n { p*i*(i*x)^(p-1)}/p!
- Sigma 2,n {(p-1)*p*h*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)}/p!

donc
{Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p}/p! - Sigma de p= 0 à n {(ix)^p}/p!}/h
-i -Sigma 2,n p*i*(i*x)^(p-1)
= - Sigma 2,n (p-1)*p*h*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)/p!
_____________________________
Remarque
si p=1
[p*i*(i*x)^(p-1)]/p!= [1*i*(ix)^0]/1!= i*1/1!=i/1=i

donc si p= 1, i = [p*i*(i*x)^(p-1)]/p!=

Donc Sigma 1,n [p*i*(i*x)^(p-1)]/p!
= i+ Sigma 2,n [p*i*(i*x)^(p-1)]/p!
____________________________________
donc
{Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p}/p! - Sigma de p= 0 à n {(ix)^p}/p!}/h
-{i +Sigma 2,n [p*i*(i*x)^(p-1)]/p!
= - Sigma 2,n {(p-1)*p*h*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)}/p!
donc

{Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p}/p! - Sigma de p= 0 à n {(ix)^p}/p!}/h
-Sigma 1,n [p*i*(i*x)^(p-1)]p!
= - Sigma 2,n {(p-1)*p*h*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)

or p/p! = 1/p-1

donc
{Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p}/p! - Sigma de p= 0 à n {(ix)^p}/p!}/h
-i * Sigma 1,n (i*x)^(p-1)]/(p-1)!
= - Sigma 2,n {(p-1)*p*h*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)

on pose q = p-1

donc
{Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p}/p! - Sigma de p= 0 à n {(ix)^p}/p!}/h
-i * Sigma 0,n-1 { (i*x)^q}/q!
=
h*{- Sigma 2,n {(p-1)*p*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)}/p!}

passons aux normes

|Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p}/p! - Sigma de p= 0 à n {(ix)^p}/p!}/h
-i * Sigma 0,n-1 { (i*x)^q}/q!|
=
|h|*|Sigma 2,n {(p-1)*p*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)}/p!|

or on a vu que
Sigma 2,n {(p-1)*p*Int 0,1 {(1-w) * [i(x+wh)]^(p-2)} dm(w)}/p!|
=<exponentielle(|x|+|h|)

donc
|Sigma de p= 0 à n {[i(x+h]^p}/p! - Sigma de p= 0 à n {(ix)^p}/p!}/h
-i * Sigma 0,n-1 { (i*x)^q}/q!|
=<|h] exponentielle(|x|+|h|)

Prenons les nombres complexes vers lesquelles ces quantités convergent
en n

[exp i(x+h) -exp(ix)]/h -i*exp(ix) =<|h] exp(|x]+|h|)

ceci entraine que

[exp i(x+h) -exp(ix)]/h -i*exp(ix) converge vers 0 en h

donc

on vient de montrer clairement que
l'application qui à x réel associe exp(ix) est dérivable en x
et que sa dérivée en ce point est
i*exp(ix)

Ensuite on pose cos(x) = partie réelle de vexp(ix)
sinx = partie imaginaire de exp(ix)
et on démontre sans tricher toutes les propriétés habituelles.

[Doraki]

Pour montrer que la dérivée de exp est exp, on dit que
pour tout x et y, la famille (|x^n y^m| / n! m!) est sommable,
ce qui montre, en arrangeant la somme des x^n y^m / n! m! de deux façons, que exp(x+y) = exp(x) * exp(y).
Ensuite y'a plus qu'à dire que exp'(0) = 1, ce qui est très facile.