Dérivée, croissance

[nico2b]

Bonjour,
je n'arrive pas à prouver cette implication :

Si f : possède une dérivée positive ou nulle en tout point de , alors f est croissante sur .

Si la dérivée est nulle cela signifie que mais je ne vois pas comment prouver qu'alors elle est croissante...


Merci d'avance

[alben]

Bonjour,

As-tu le droit d'utiliser le théorème des accroissements finis ?
Si oui, tu peux le faire par l'absurde (en supposant qu'il existe xf(y) )

[nico2b]

As-tu le droit d'utiliser le théorème des accroissements finis ?

Non :hum:

Mais peux-tu me cité ce théorème?
Et sinn y-a-t'il une autre méthode?

MErci pour l'aide

[BQss]

Salut, tu peux utiliser l'aproximation affine de la fonction au voisinage du point d'etude.

si f est derivable en a, la tangente a pour equation:
g(a+h)=f'(a)h+f(a)

quand h est petit f(x) peut etre approché par sa tangente avec une erreur qui tend vers 0.

donc si f'(a)>0, dans un voisnage de a(on prend h positif)
g(a+h)-f(a)=f(a+h)-f(a)+o(h)=f'(a)h+o(h)>0 car o(h) tend vers 0 plus vite que h, on peut donc trouver une distance assez proche ou |f'(a)h|>o(h)

f(a+h)-f(a)>0 dans un voisnage de a donc f est croissante dans un voisinage de a.

[mathelot]

As-tu le droit d'utiliser le théorème des accroissements finis ?

Comme l'écrit Alben, la démonstration générale utilise le thm des accroissements finis (si f ' n'est pas continue):

thm des accroissements finis:

si f est continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[
f(x)-f(y)=(x-y) f '(c) avec
comme f ' est positive , et f est croissante sur [a;b].

Si tu ne veux pas utiliser le thm des accroissements finis, et que tu supposes
f ' continue, alors f est la primitive de sa dérivée et par le thm de la moyenne

[alben]

Pour le théorème voir ici
Sinon, à partir de la définition, il faut aussi raisonner l'absurde en supossant que la fonction est décroissante mais c'est un peu fastidieux

[mathelot]

Sinon, à partir de la définition, il faut aussi raisonner l'absurde en supossant que la fonction est décroissante mais c'est un peu fastidieux

Qu'est ce que tu écris ? la négation de "f croissante sur I" n'est pas "f décroissante sur I" !

[nico2b]

Merci pour votre aide...

[nico2b]

Je viens de regardé dnas mn cour et le théorème de la moyenne, des accroissement finies arrive seulement après...Ici on viens de finir la continuité et sommes au début des dérivées....

Comme l'exercice comporte 5 sous-points il est possible que ce point ci est facultatif....

En tt cas merci

[alben]

Qu'est ce que tu écris ? la négation de "f croissante sur I" n'est pas "f décroissante sur I" !

D'accord, mais la négation c'est qu'il existe [a,b] tel que f(a) -f(b)=e>0. On peut alors considérer la bornes inf des b, a fixé etc...