Dérivé des fonction réciproque

[dwaldo]

Bonsoir, la finalité de l'exercice est de calculé un nombre dérivé de deux façon différente ,

J'ai dans un premier temps f(x)=Arcsin(x^0,5) avec sa dérivé f'(x)= 1/(2(x^0,5)((1-x)^0,5))
Je dispose également de sa fonction réciproque g(x)=sin²(x) avec sa dérivé g'(x)=2cos(x)sin(x)

on me demande de calculé f-1' (pi/6) de 2 façon différente ,

première façon pas de problème (enfin j'espère) je remplace dans g'(x) le x par pi/6 et je trouve (3^0,5)/2
mais pour la seconde j'essai d'appliquer la formule g'(x)= 1/ f'(g(x)) en vain impossible de retomber sur "racine de 3 sur 2 " Je remercie par avance a ceux qui me viendront en aide et pourrons peut être m'éclairer sur mes erreur.

[azertytreza]

Bonjour

Je te l'ai déjà dit (et pourtant tu étais d'accord tout à l'heure)

quand tu parles d'une fonction (quel que soit cette fonction )

soit tu donne son domaine de définition et son domaine d'application

dans ce cas dans son domaine de définition elle sera une application

soit tu ne donne que son domaine de définition et un ensemble d'arrivée qui contient l'image de ta fonction (on saura que c'est une injection )

mais dans tous les cas on veut son domaine de définition

après tu as le droit d'écrire par exemple

mais écrire directement ma fonction c'est

je cherche sa dérivée ou sa réciproque ça n'a aucun sens

on parle de réciproque que dans le cas d'une bijection et on parle de fonction dérivée d'une fonction (si elle existe ) que sur un ensemble de définition de ta fonction

bref tu étais d'accord mais j'ai remarqué que tu avais dit oui ok et vite fait tu avais répondu à un autre

le problème il est là

en maths ce qui est vite compris est toujours mal compris

[dwaldo]

Très bien je comprend la critique qui m'est faite, il est vrais que j'ai posté ce message un peut rapidement.

Ma fonction f(x) est donc définis sur [0,1] avec un ensemble d'arrivé compris entre [0,pi/2]
f(x)' est dérivable sur R- {0,1] (ou R représente son ensemble de définition) (je ne suis pas sûr de sa)

Pour g(x) (sa réciproque) il faut donc inversé le domaine de def et le domaine d'arrivé de f(x)
g'(x) est dérivable sur son ensemble de définition (je ne suis pas sûr de sa)


Encore une fois je tiens a te remercier de prendre le temps de m'aider, et si j'oublie certaine chose ce n'est pas par fainéantise mais simplement un manque de rigueur que je traîne depuis le collège et que j'essai péniblement de corrigé .

Si j'ai encore oublié quelque chose pour que tu puisse m'aider merci de me le faire savoir et je tacherais d'apporter les information manquante

[GaBuZoMeu]

Je ne trouve pas trop difficile de calculer pour .

[Lostounet]

Bonsoir, la finalité de l'exercice est de calculé un nombre dérivé de deux façon différente ,

J'ai dans un premier temps f(x)=Arcsin(x^0,5) avec sa dérivé f'(x)= 1/(2(x^0,5)((1-x)^0,5))
Je dispose également de sa fonction réciproque g(x)=sin²(x) avec sa dérivé g'(x)=2cos(x)sin(x)

on me demande de calculé f-1' (pi/6) de 2 façon différente ,

première façon pas de problème (enfin j'espère) je remplace dans g'(x) le x par pi/6 et je trouve (3^0,5)/2
mais pour la seconde j'essai d'appliquer la formule g'(x)= 1/ f'(g(x)) en vain impossible de retomber sur "racine de 3 sur 2 " Je remercie par avance a ceux qui me viendront en aide et pourrons peut être m'éclairer sur mes erreur.

Salut,
Si on se donne une fonction f, la fonction réciproque de f (que l'on note ) est sa soeur jumelle qui permet d'annuler son effet. C'est-à-dire pour tout nombre x, Appliquer la fonction puis sa réciproque à un nombre c'est ne rien faire, on trouve le nombre de départ.

Donc par exemple si on prend la fonction racine carrée , la fonction réciproque est la fonction carré: puisque

Par contre, ce qui est embêtant, c'est que tout nombre réel possède un carré mais pas tout nombre réel possède une racine carrée. Par exemple
et Le nombre 9 possède deux racines carrées (a priori) qui seraient 3 et (-3).

Le nombre (-16) par exemple ne possède aucune racine carrée.
Moralité: quand on prend g(x) = x^2, si on veut définir sa fonction réciproque il va falloir faire un choix (on prend 3 ou -3 comme image de 9 ? On choisit de prendre 3) .


C'est pareil pour la fonction cosinus et arccos (cos^(-1)): cos(pi/3) = cos(pi/3 + 2*pi) = par exemple. Donc que vaudrait arccos(1/2) ? Est-ce pi/3 ou bien pi/3 + 2*pi ?
C'est pour cela qu'on définit arccos comme la réciproque de la fonction cosinus restreinte à [0 ; pi].

Bref tout cela pour dire que c'est important de donner des domaines de définition avant de manipuler ces fonctions réciproques pour lever toute ambiguité.

Maintenant que cela est dit, faisons ton exercice.
et tu as trouvé que

Ils te demandent de calculer donc effectivement tu peux tout simplement remplacer x par dans l'expression de la fonction


La seconde méthode serait d'écrire que, comme par définition nous avons:
f (f^{-1}(x)) = x pour tout x, en dérivant les deux membres de cette égalité fonctionnelle on trouve (par la formule de dérivation des fonctions composées):

(car x a pour dérivée 1)

En prenant







Donc ...

[dwaldo]

Merci d'avoir pris le temps de m'aider , j'ai finalement trouvé la réponse en appliquant g(x)' = 1/ f'(g(x))

Effet cela donne 1 / 1/ 2 x sin(pi/6) x (1-sin²(pi/6))^0,5

Je peut donc passer l'expression du bas au numérateur et divisé par 1 c'est ne rien faire ,
il reste donc plus que:
g'(pi/6) = 2 x sin(pi/6) x (1-sin²(pi/6))^0,5
g'(pi/6) = 2 x 0,5 x (1- 0,25)^0,5
g'(pi/6) = 0,75^0,5

et la eurêka je suis bien retombé sur mon "racine de 3 sur 2" , Merci a vous et merci a Lostounet pour m'avoir mieux fait comprendre l'importance du domaine de définition