Dérivation Nième d'une fonction

[BelzeButt]

Bonsoir, j'ai un problème lors de la dérivée N-ième de plusieurs fonctions dans mon exercice

La 1ère question est de dérivée cette fonction, ordre 2.



j'ai utilisé la formule de Leibniz et j'ai obtenu





Ensuite lors de ma simplification, j'ai réussis a simplifier

Pour avoir

Mais j'ai pas réussis à trouver la dérivée du

[Lostounet]

Bonjour

Le n est un entier fixé donc dans ta formule de Leibniz évite d'utiliser l'indice n...
Tu es supposé avoir du "0 parmi 2" pas 0 parmi n.

Ensuite dans un exemple simple comme ici on peut tout simplement faire à la main, en calculant f'(x) puis f''(x). C'est la dérivée à l'ordre 2 ou n? Je ne comprends rien.

[BelzeButt]

j'ai compris mon "erreur" pour les "0 parmi 2"
En fait ce que je n'arrive pas à faire, c'est de continuer mon calcul de dérivé
quand j'ai dérivé j'ai trouvé le résultat facilement

mais là ce que je n'arrive pas à faire c'est de dérivé
pour finir mon calcul

[Lostounet]

En fait la formule de Leibniz dit que si tu as f et g deux fonctions dérivables (ici deux fois donc), alors la dérivée seconde de fg est:

(fg)" = (0 parmi 2)*f''g + (1 parmi 2)f'g' + (2 parmi 2)fg".

Avec f=x^2 donc f'=.. et f"=...
Et g=(1+x)^n donc g'=... et g"=...
Je ne comprends donc pas d'où sort le x^2(1+x^n)^n.
Les puissances dans la formule de Leibniz désignent des dérivées k-ièmes pas des puissances au sens 'multiplication'

[BelzeButt]

Du coup lorsque que je dérive g (x)=(1+x)^n je trouve
g'(x) = nx^n-1
g''(x) = n ? Ca me paraît bizarre '-'

[Lostounet]

Quelle est la dérivée de (1+x)^5 ?

C'est 1×5(1+x)^4 et pas 5x^4 ...
C'est la formule de dérivation de fonction composée.

On a (f(g(x)) avec f(x)=x^5 et g(x)=x+1
Donc (f(g(x))' = g'(x)*f'(g(x))=1*5(x+1)^4

Après je ne peux pas te pardonner la deuxieme erreur "nx^(n-1) a pour dérivée n"...

[BelzeButt]

Ah oui g"(x) = n!x^n-1

[Lostounet]

What the fuck? D'où sort cette factorielle.

Que vaut g' ? On fait pas des dérivées nième pour qu'il ressorte des factorielles...

[BelzeButt]

g' = nx^n-1

[Lostounet]

Non! Revois mon message précédent.
Qui traite n=5

Si g(x)=(1+x)^n alors g'(x)=n(1+x)^(n-1)

[BelzeButt]

je parlais de la formule générale pour le coup ^^' mais ok j'ai compris ^^'

Du coup la dérivé de g'(x), comment je dérive ce n-1 '-'

[Lostounet]

je parlais de la formule générale pour le coup ^^' mais ok j'ai compris ^^'

Du coup la dérivé de g'(x), comment je dérive ce n-1 '-'

Euh non on ne parle de la formule générale là... déjà on fait une dérivée seconde seulement non?

Ensuite.. si g'(x)=n(1+x)^(n-1)
Essaye avec n=5 pour voir déjà...c'est quoi la dérivée de 5(1+x)^4 ?

[BelzeButt]

5*4(1+x)^3
20(1+x)^3

[Lostounet]

5*4(1+x)^3
20(1+x)^3

Voilà
Donc tout simplement g"(x)=n* (n-1)(1+x)^(n-2)

Pas besoin de se compliquer avec des factorielles.

[Lostounet]

En fait la formule de Leibniz dit que si tu as f et g deux fonctions dérivables (ici deux fois donc), alors la dérivée seconde de fg est:

(fg)" = (0 parmi 2)*f''g + (1 parmi 2)f'g' + (2 parmi 2)fg".

Avec f=x^2 donc f'=.. et f"=...
Et g=(1+x)^n donc g'=... et g"=...
Je ne comprends donc pas d'où sort le x^2(1+x^n)^n.
Les puissances dans la formule de Leibniz désignent des dérivées k-ièmes pas des puissances au sens 'multiplication'

Finalement
(fg)"=2(1+x)^n + 2*(2x)*n(1+x)^(n-1) + n(n-1)x^2(1+x)^(n-2)

= (1+x)^(n-2) [2(1+x)^2 + 4nx(1+x) + n(n-1)x^2)]

On peut développer un peu la deuxième parenthèse

= (1+x)^(n-2) [ 2x^2+4x+2+4nx+4nx^2+n^2x^2-nx^2]

= (1+x)^(n-2) [x^2{n^2+3n+2} + x{4(n+1)} + 2]

[BelzeButt]

Yep j'ai trouvé ça !
Encore merci !

[Lostounet]

Bonne nuit

[BelzeButt]

Merci de même