Dérivabilité et Fonction Réciproque

[papino]

soit f la fonction de [0; ;)/2[ vers [0;1] définie par f(x)=sin²x
1-démonter que f admet une fonction réciproque (fait)
2-déterminer l'ensemble sur lequel cette réciproque est dérivable (fait)
3-démonter que la dérivée de cette réciproque est 1/[(2racine carrée de x))(racine carrée de 1-x)]

mon problème se trouve à ce niveau

Cordialement :)

[Manny06]

soit f la fonction de [0; /2[ vers [0;1] définie par f(x)=sin²x
1-démonter que f admet une fonction réciproque (fait)
2-déterminer l'ensemble sur lequel cette réciproque est dérivable (fait)
3-démonter que la dérivée de cette réciproque est 1/[(2racine carrée de x))(racine carrée de 1-x)]

mon problème se trouve à ce niveau

Cordialement

soit tu utilises la dérivée de Arcsin(Vx)
soit la formule de la dérivée d'une fonction réciroque
f^-1'(y)=1/f'(x)=1/2sinxcosx et sinx=Vy cosx=V(1-y) car sin et cos sont positifs sur l'intervalle

[jlb]

soit f la fonction de [0; /2[ vers [0;1] définie par f(x)=sin²x
1-démonter que f admet une fonction réciproque (fait)
2-déterminer l'ensemble sur lequel cette réciproque est dérivable (fait)
3-démonter que la dérivée de cette réciproque est 1/[(2racine carrée de x))(racine carrée de 1-x)]

mon problème se trouve à ce niveau

Cordialement

Appelle F la fonction réciproque, tu as F(f(x))=x pour tout x de ]0,pi/2[

Tu dérives cette expression: f'(x)F'(f(x))=1 et donc F'(f(x))=1/f'(x) soit F'(y)=1/f'(F(y))

Après f'(F(y)= f'(x)=2sinxcosx =2rac(f(x)(1-f(x))=2rac(f(F(y)(1-f(F(y)))=2rac((y)(1-y))

[mathelot]

autre méthode

[papino]

je ne comprends pas que désigne y?

[Ben314]

je ne comprends pas que désigne y?

C'est un élément quelconque de l'ensemble d'arrivé de f (donc ici de [0,1]) dont on cherche le(s) antécédent(s) x dans l'ensemble de départ (donc ici de [0,pi/2]).
C'est comme ça qu'on fait pour déterminer la bijection réciproque d'une fonction donné (quand on y arrive : souvent on sait qu'elle existe mais on n'arrive pas à l'exprimer à l'aide d'une "formule")

De façon plus générale, lorsqu'on a une fonction de l'ensemble X dans l'ensemble Y, on utilise de préférence la lettre x pour les éléments de l'ensemble de départ et la lettre y pour ceux de l'ensemble d'arrivée : on écrit par exemple et (si f est bijective)

[papino]

merci je vais revoir ça