Densité jointe vs densité simple

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plikskin
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Densité jointe vs densité simple

par plikskin » 23 Oct 2012, 13:25

Bonjour ! :)

J'ai la densité jointe suivante : f(x,y) = e^(-x^2*y) si x >= 1 et y >= 0, 0 sinon.

Je dois retrouver les fonctions de densité individuelles, f(x) et f(y). Pour f(x) tout va bien, mais pour f(y) j'ai l'impression que l'intégrale n'existe pas, y a-t-il un moyen de trouver f(y) malgré tout ?



arnaud32
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par arnaud32 » 23 Oct 2012, 13:47


plikskin
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par plikskin » 23 Oct 2012, 13:57



Je ne comprends pas ce que tu essaies de me dire. ^^'

Sylviel
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par Sylviel » 23 Oct 2012, 14:08

quel est l'expression (avec intégrale) de f_Y(y) ?
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

plikskin
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par plikskin » 23 Oct 2012, 14:16

Sylviel a écrit:quel est l'expression (avec intégrale) de f_Y(y) ?


On doit trouver f(y) = integrale(e^(-x^2*y)dx) mais je n'arrive pas à calculer ça.

arnaud32
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par arnaud32 » 23 Oct 2012, 14:16

pour tu as
pour

pour tu as
pour

Deliantha
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ReM

par Deliantha » 23 Oct 2012, 14:21

Sylviel a écrit:quel est l'expression (avec intégrale) de f_Y(y) ?


Et on n'occulte pas le paramètre t conditionnant la valeur de cette intégrale.

plikskin
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par plikskin » 23 Oct 2012, 16:55

arnaud32 a écrit:pour tu as
pour

pour tu as
pour


Donc je dois laisser ma réponse sous cette forme ? D'où tires-tu la borne racine de t ? Et comment puis-je tester l'indépendance des deux variables avec une densité pareille ? Je suis désolé je n'ai encore jamais vu le sujet donc je suis complètement perdu. ^^

DamX
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par DamX » 24 Oct 2012, 15:25

plikskin a écrit:Donc je dois laisser ma réponse sous cette forme ? D'où tires-tu la borne racine de t ? Et comment puis-je tester l'indépendance des deux variables avec une densité pareille ? Je suis désolé je n'ai encore jamais vu le sujet donc je suis complètement perdu. ^^

Hello,

La racine est issu du changement de variable x' = x*racine(t).

Si ton but est ensuite de tester l'independance des variables, tu n'es pas obligé d'utiliser ces densités simples (mais tu pourrais, en montrant (ou non) que E[f(X)g(Y)]=E[f(X)]E[g(Y)] avec f et g des fonctions vérifiant je ne sais plus quels critères) mais en l'occident ici tu n'as pas besoin.

Dans le cas de variables à densité une autre caractérisation de l'indépendance est qu'elles sont indépendante ssi il existe g et h des fonctions telles que
f(x,y)=g(x)h(y) (tu peux décomposer ta densité jointe en produits de deux densité).

Comme tu as des fonctions bien régulières et dérivables dans ton exemple, tu peux du coup remarque que si les variables sont indépendantes, tu auras donc :

et donc en faisant le ratio des deux équation précédentes tu obtiens :



Donc si X et Y sont indépendantes, cette fonction ne dépend pas de x.

Fais le calcul et tu verras que ce n'est pas le cas du tout dans ton exemple..

Damien

plikskin
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par plikskin » 24 Oct 2012, 18:55

arnaud32 a écrit:pour tu as
pour


Pourquoi met-on la densité sous cette forme plutôt que de garder l'intégrale de base ?

 

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