Denombrements

[wilfred1995]

Bonjour à tous.
Soit et trois ensembles finis.
1- on suppose que ces trois ensembles sont deux à deux disjoints.
Exprimer en fonction de et
On a
2- on suppose et quelconques, exprimer en fonction de et
On a
3- soit ensembles finis avec
Donner l'expression du que je ne m'ens sort pas du tout. Merci

[Ben314]

Salut,
Le 1., c'est évidement O.K., mais pour le 2. :

On a

C'est pas ca.
L'énoncé aurait du commencer par demander de calculer, le cardinal de AuB : ça aurait évidement grandement aidé pour AuBuC (à la fois du fait qu'il suffit d'appliquer plusieurs fois la formule de AuB pour trouver celle de AuBuC, mais surtout du fait que si on a bien compris l'idée conduisant au calcul pour AuB, ben on "reproduit" l'idée pour AuBuC)

[wilfred1995]

Je sais que pour c'est bien ceci?

[Pseuda]

Je sais que pour c'est bien ceci?

Bonjour,

Oui c'est bien ça. Le est compté 2 fois (1 fois dans A, 1 fois dans B) , donc il faut l'enlever 1 fois.

[wilfred1995]

L'enoncé du 2- est plutôt ceci:
on suppose A, B et C quelconques, exprimer en fonction de
On a
Est ceci?

[wilfred1995]

L'enoncé du 2- est plutôt ceci:
on suppose A, B et C quelconques, exprimer en fonction de
On a
Est ceci?

[Pseuda]

C'est un "+" devant le dernier terme ! :

car le a été enlevé 3 fois (1 fois dans chacune des 3 intersections 2 à 2), et il est compté 3 fois (1 fois dans chacun des 3 ensembles A,B,C), il faut donc le remettre.

[wilfred1995]

C'est un "+" devant le dernier terme ! :

Ça alors! Comment?

[Pseuda]

J'ai modifié mon message plus haut pour donner intuitivement la réponse. Mais il faut le démontrer en utilisant la formule avec A et B, et les propriétés sur les ensembles :

[wilfred1995]

Ok j'essaye

[wilfred1995]

Posons g=

f = - g

e = - g

d = - g

c = Card(C) - (d+f+g)

b = Card(B) - (e+f+g)

a = Card(A) - (e+d+g)
Donc

Voilà comment j'ai procédé mais je bloque ici:

[Ben314]

Si tu veut procéder de la sorte en "comptant les petits bouts", je pense que le mieux, c'st de commencer par faire un dessin représentant A,B et C et leurs intersection :

où tu note par exemple a,b,c,d,e,f,g les cardinaux des 7 zones (*) qui apparaissent sur le dessin.
Ensuite, tu regarde ce que c'est les cardianux de A, de B, de AnB, etc, etc, et comment les ajouter/soustraire pour obtenir comme total a+b+c+d+e+f+g.

(*) En fait il y a 2^3=8 zones, mais celle extérieure à A, B et C ici, elle ne rentre pas en ligne de compte.

P.S. : Attention par contre au fait que ce type de dessin, ça commence à être difficile à faire si au départ on a 4 ensembles A,B,C et D (si on fait le dessin au pif, ça risque fortement d'être un cas particulier du style qu'il n'y a aucun élément de AnBnC qui soit dans D). Donc à partir de 4 ensembles, il faut commencer à être "un peu plus théorique".

[wilfred1995]

Si tu veut procéder de la sorte en "comptant les petits bouts", je pense que le mieux, c'st de commencer par faire un dessin représentant A,B et C et leurs intersection :

où tu note par exemple a,b,c,d,e,f,g les cardinaux des 7 zones (*) qui apparaissent sur le dessin.
Ensuite, tu regarde ce que c'est les cardianux de A, de B, de AnB, etc, etc, et comment les ajouter/soustraire pour obtenir comme total a+b+c+d+e+f+g.

(*) En fait il y a 2^3=8 zones, mais celle extérieure à A, B et C ici, elle ne rentre pas en ligne de compte.

P.S. : Attention par contre au fait que ce type de dessin, ça commence à être difficile à faire si au départ on a 4 ensembles A,B,C et D (si on fait le dessin au pif, ça risque fortement d'être un cas particulier du style qu'il n'y a aucun élément de AnBnC qui soit dans D). Donc à partir de 4 ensembles, il faut commencer à être "un peu plus théorique".

Oui c'est bien ce dessin que j'ai appliqué.

[Ben314]

Effectivement.
Donc écrit en toute lettres (mais de mettre les lettres dans le dessin ça suffit) tu as :
= g
= f + g
= e + g
= d + g
Card(C) = c + d + f + g
Card(B) = b+ e + f + g
Card(A) = a + e + d + g

Donc card(A) + card(B) + card(C) = a + b + c + 2d + 2e + 2f + 3g
Ce qui signifie que d,e et f ont été compté 2 fois (et g 3 fois).
Donc pour rectifier, tu retranche = d + e + f + 3g
Ce qui donne a + b + c + d + e + f
Sauf que maintenant, le g a totalement disparu donc il faut le réajouter, c'est à dire ajouter = g