Denombrements

[wilfred1995]

Bonjour à tous
1. Combien y a-t-il de nombres formés de 3 chiffres distincts choisis parmi 1,2 ,4 5,8 et 9? Combien y en a t-il si l'on autorise les répétitions?
2. Combien y a-t-il de nombres formés de 4 chiffres distincts et où figurent 1 et 8?
3. Combien y a-t-il de nombres formés de 4 chiffres distincts et qui soit multiple de 4?
pour le 1.
pour le 2.
pour le 3 c'est impossible
merci d'avance pour un bref contrôle.

[Aispor]

Hello, moi j'aurais mis :

1.a. (3 parmis 6)*6 mais je pense que ça revient au même. je choisis 3 chiffre parmis les 6 et je les places (3*2=6 possibilités de les placés)
1.b. 6*6*6 pour le premier chiffre j'ai 6 possibilités, pour le 2eme aussi, et pour le 3eme aussi.

2. Je choisis les 2 places de 1 et 8 ((2 parmis 4) possibilités) et je choisis le numéro des deux derniers chiffres (4*3 possibilités) et je les places (2 possibilités)
Donc (2 parmis 3)*4*3*2

3. Je sais pas ^^

[wilfred1995]

Hello, moi j'aurais mis :

1.a. (3 parmis 6)*6 mais je pense que ça revient au même. je choisis 3 chiffre parmis les 6 et je les places (3*2=6 possibilités de les placés)
1.b. 6*6*6 pour le premier chiffre j'ai 6 possibilités, pour le 2eme aussi, et pour le 3eme aussi.

2. Je choisis les 2 places de 1 et 8 ((2 parmis 4) possibilités) et je choisis le numéro des deux derniers chiffres (4*3 possibilités) et je les places (2 possibilités)
Donc (2 parmis 3)*4*3*2

3. Je sais pas ^^

Salut le numéro 2 c'est juste une erreur je faisais un exemple avec 3 et et j'ai appliqué mon exemple sur l'exercice en question pourtant j'aurais dû mettre 6 mais ta dernière question je ne crois pas du tout à ça revérifier encore bien essaie de faire l'exemple avec un nombre limité de chiffres

[Elias]

3. Combien y a-t-il de nombres formés de 4 chiffres distincts et qui soit multiple de 4?
pour le 3 c'est impossible
merci d'avance pour un bref contrôle.

Pour la 3, c'est faux.
Par exemple, 5364 est tout à fait divisible par 4.

Prenons un nombre à 4 chiffres avec dans

Ce nombre est divisible par 4 si et seulement si , soit

On cherche maintenant les nombres à 4 chiffres distincts divisibles par 4.
Déjà, faut être divisible par 2 donc les terminaisons possibles sont 0,2,4,6 ou 8.
Etudions les au cas par cas.

Si : ***0
Il faut que donc doit être pair et (car les 4 chiffres doivent être distincts) donc soit 4 choix pour .
Il y a ensuite 8 choix pour et 7 choix pour (les chiffres doivent être distincts) donc 56 choix possibles pour les deux premiers.

Il y a donc
possibilités de multiples de 4 du style ***0.

Si : ***4
Il faut que , ce qui est équivalent à pair une nouvelle fois.
Il y a donc 4 choix pour .

Par contre, pour et , ce n'est plus la même. Il n'y a plus 56 choix car lorsque , ça fait un nombre à 3 chiffres distincts au lieu de 3.
Il faut donc enlever les 7 choix qui conduisent à .
On tombe alors sur 49 couples avec et .

Mais quand c=0, la condition a=0 est impossible donc on dénombre 56 couples (a,b) tels que...

Ca fait donc au total :
nombres de ce type

Si : ***8
Le même raisonnement conduit à 203 choix.

Si d=2 : ***2, on raisonne de même (en faisant attention à ne pas prendre a=0) et on trouve choix.
Enfin, si : ***6, le même raisonnement conduit aussi à 245 choix.


Bilan :
le nombre de nombres à 4 chiffres distincts multiples de 4 est : .

Un petit programme informatique (sur Python par exemple) permet de confirmer tout ça...

En espérant avoir été à peu près clair...

Sauf erreur.

[wilfred1995]

3. Combien y a-t-il de nombres formés de 4 chiffres distincts et qui soit multiple de 4?
pour le 3 c'est impossible
merci d'avance pour un bref contrôle.

Salut, j'ai pas regardé les deux premières questions mais pour la 3, c'est faux.
Par exemple, 5364 est tout à fait divisible par 4.

Prenons un nombre à 4 chiffres avec dans

Ce nombre est divisible par 4 si et seulement si , soit

On cherche maintenant les nombres à 4 chiffres distincts divisibles par 4.
Déjà, faut être divisible par 2 donc les terminaisons possibles sont 0,2,4,6 ou 8.
Etudions les au cas par cas.

Si : ***0
Il faut que donc doit être pair et (car les 4 chiffres doivent être distincts) donc soit 4 choix pour .
Il y a ensuite 8 choix pour et 7 choix pour (les chiffres doivent être distincts) donc 56 choix possibles pour les deux premiers.

Il y a donc
possibilités de multiples de 4 du style ***0.

Si : ***4
Il faut que , ce qui est équivalent à pair une nouvelle fois.
Il y a donc 4 choix pour .

Par contre, pour et , ce n'est plus la même. Il n'y a plus 56 choix car lorsque , ça fait un nombre à 3 chiffres distincts au lieu de 3.
Il faut donc enlever les 7 choix qui conduisent à .
On tombe alors sur 49 couples avec et .

Mais quand c=0, la condition a=0 est impossible donc on dénombre 56 couples (a,b) tels que...

Ca fait donc au total :
nombres de ce type

Si : ***8
Le même raisonnement conduit à 203 choix.

Si d=2 : ***2, on raisonne de même (en faisant attention à ne pas prendre a=0) et on trouve choix.
Enfin, si : ***6, le même raisonnement conduit aussi à 245 choix.


Bilan :
le nombre de nombres à 4 chiffres distincts multiples de 4 est : .

Un petit programme informatique (sur Python par exemple) permet de confirmer tout ça...

En espérant avoir été à peu près clair...

Sauf erreur.

merde j'ai une seule question c'est la seule manière de procéder??

[Elias]

Sûrement que non mais c'est comme ça que je vois les choses. Tu peux éventuellement répondre par un programme informatique si tu as du mal à dénombrer seul mais ce n'est sûrement pas ce qui est attendu.

J'ai vérifié aussi le reste.

pour la 1), c'est OK, sauf la deuxième partie où c'est 6^3.

Pour la 2), vous n'y êtes pas tous les deux, il y en a beaucoup plus.

Il y a 4 façons de placer le "1" d'abord : soit en première, deuxième, troisième ou quatrième position.
Une fois placé, il y a 3 façons de placer le 8.
Ca fait donc 4*3=12 façons de placer mes deux nombres (ici, on doit faire attention à l'ordre bien sûr).

Ensuite, une fois ces deux chiffres placés, il faut faire attention.
Si on est dans une configuration où le "1" ou le "8" est placé en 1ère position (du style 1*8** ou 8***1), alors j'ai 2 choix distincts à faire parmi les 8 chiffres {0,2,3,4,5,6,7,9} : donc 8 choix pour l'un et 7 pour l'autre (il faut qu'ils soient distincts), soit 56 choix.

Si on est dans une configuration où le "1" et "8" ne sont pas en 1ère position (du style *1*8* ou **81 etc), alors il n'y a pas 56 choix pour placer les deux chiffres restants car le fait de mettre 0 en première position fait qu'on obtient un nombre à 4 chiffres (au lieu de 3 chiffres).

Il y a donc 56 possibilités MOINS le 7 cas qui conduisent à un "0" en première position, soit 49 choix.


Pour conclure, il reste à compter parmi les 12 façons de positionner mon 1 et 8, celles pour lesquelles on a du 1 ou 8 en première position (il y en a 6) et celles pour lesquelles ce n'est pas le cas (6 aussi).

Ca fait donc :

6*56+6*49=630.

Un programme informatique permet de confirmer tout ça.
Sauf erreur.

[wilfred1995]

depuis je vois tu mets 0. 0 ne fait pas partie de ces nombres

[wilfred1995]

Sûrement que non mais c'est comme ça que je vois les choses. Tu peux éventuellement répondre par un programme informatique si tu as du mal à dénombrer seul mais ce n'est sûrement pas ce qui est attendu.

J'ai vérifié aussi le reste.

pour la 1), c'est OK, sauf la deuxième partie où c'est 6^3.

Pour la 2), vous n'y êtes pas tous les deux, il y en a beaucoup plus.

Il y a 4 façons de placer le "1" d'abord : soit en première, deuxième, troisième ou quatrième position.
Une fois placé, il y a 3 façons de placer le 8.
Ca fait donc 4*3=12 façons de placer mes deux nombres (ici, on doit faire attention à l'ordre bien sûr).

Ensuite, une fois ces deux chiffres placés, il faut faire attention.
Si on est dans une configuration où le "1" ou le "8" est placé en 1ère position (du style 1*8** ou 8***1), alors j'ai 2 choix distincts à faire parmi les 8 chiffres {0,2,3,4,5,6,7,9} : donc 8 choix pour l'un et 7 pour l'autre (il faut qu'ils soient distincts), soit 56 choix.

Si on est dans une configuration où le "1" et "8" ne sont pas en 1ère position (du style *1*8* ou **81 etc), alors il n'y a pas 56 choix pour placer les deux chiffres restants car le fait de mettre 0 en première position fait qu'on obtient un nombre à 4 chiffres (au lieu de 3 chiffres).

Il y a donc 56 possibilités MOINS le 7 cas qui conduisent à un "0" en première position, soit 49 choix.


Pour conclure, il reste à compter parmi les 12 façons de positionner mon 1 et 8, celles pour lesquelles on a du 1 ou 8 en première position (il y en a 6) et celles pour lesquelles ce n'est pas le cas (6 aussi).

Ca fait donc :

6*56+6*49=630.

Un programme informatique permet de confirmer tout ça.
Sauf erreur.

il n'y a ni 0 ni 7 ni 3

[Elias]

Hein?????
Peux tu faire des phrases plus précises ?
Tu parles de quelle question ? La 1 ou la 2?

Quand tu cites un message, tu doit mentionner uniquement la partie que tu souhaites commenter...


Bon je suppose que c'est la 1.
1. Combien y a-t-il de nombres formés de 3 chiffres distincts choisis parmi 1,2 ,4 5,8 et 9? Combien y en a t-il si l'on autorise les répétitions?


On veut faire un nombre à trois chiffres en autorisant les répétitions (donc 111 ou 228 sont autorisés) par exemple.

A chaque fois, on a 6 choix parmi 1,2,4,5,8 et 9.

Donc 6 choix pour le 1er, 6 pour le deuxième et 6 pour le troisième, soit 6^3.

[Elias]

depuis je vois tu mets 0. 0 ne fait pas partie de ces nombres

2. Combien y a-t-il de nombres formés de 4 chiffres distincts et où figurent 1 et 8?
3. Combien y a-t-il de nombres formés de 4 chiffres distincts et qui soit multiple de 4?


0 n'est pas un chiffre ?????????

[wilfred1995]

En effet nous ne comprenons pas pour la question 3 et 2 toi ti travailles avec 0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9, et pourtant c'est 1,2,4,5,8 et 9

[wilfred1995]

depuis je vois tu mets 0. 0 ne fait pas partie de ces nombres

2. Combien y a-t-il de nombres formés de 4 chiffres distincts et où figurent 1 et 8?
3. Combien y a-t-il de nombres formés de 4 chiffres distincts et qui soit multiple de 4?


0 n'est pas un chiffre ?????????

merci beaucoup trident c'est moi qui me suis trompé je viens de constater que le 1 n'a rien à voir avec le 2 et le 3 je me mets au travail immédiatement pour voir si on aura les mêmes réponses. Heureusement que ce n'était pas lors d'un CC j'aurai piqué la crise. Merci encore

[Pseuda]

Bonjour,

Pour la question 3), on peut faire peut-être un peu plus simple.

Les nombres divisibles par 4 sont les nombres qui se terminent par 00, 04, 08, ..., 96, soit 25 possibilités de terminaison. Il faut exclure ceux qui ont le même chiffre, soit 00, 44 et 88.

Reste 22 terminaisons possibles, multiplié par 8*7 possibilités pour les 2 premiers chiffres (2 chiffres autres que les 2 derniers), soit : 22*8*7=1232 nombres possibles.

Mais il faut exclure les nombres commençant par 0, c'est-à-dire ceux qui ne comptent pas de 0 dans leur terminaison (les 22 terminaisons auxquelles on enlève 04, 08, 20, 40, 60, 80), reste 16 possibilités * 7 (le chiffre des centaines : un chiffre autre que 0 et les 2 derniers) =102 nombres à exclure.

Reste donc 1232-102 = 1120 nombres cherchés. Même résultat que Trident2.

[wilfred1995]

Bonjour
Et si on posait la question de savoir combien il y a-t-il de nombres formés de 4 chiffres distincts??

[wilfred1995]

Bonjour
Mais il faut exclure les nombres commençant par 0, c'est-à-dire ceux qui ne comptent pas de 0 dans leur terminaison (les 22 terminaisons auxquelles on enlève 04, 08, 20, 40, 60, 80), reste 16 possibilités * 7 (le chiffre des centaines : un chiffre autre que 0 et les 2 derniers) =102 nombres à exclure.

c'est cette dernière partie que je ne comprends pas du tout 16 x 7 font 112 et non 102 s'il te plaît explique-moi encore bien

[Pseuda]

Bonjour,

Oups en effet 106*7=112 (je confonds avec 107*6 qui fait 102), puis 1232-112=1120, même résultat.

Il faut exclure les nombres qui commencent par 0 (chiffre des milliers), encore que l'énoncé ne précise pas. Ils ont été comptés dans les nombres dont les 2 derniers chiffres ne comportaient pas de 0 (sinon ils auraient eu 2 chiffres identiques). Il faut les exclure, donc dénombrer les nombres (comptés précédemment) dont le chiffre des milliers est 0, et les 2 derniers chiffres ne comportent pas de 0.

Nouveau dénombrement des nombres à exclure : il y a 6 nombres (divisibles par 4) de 2 chiffres différents qui comportent un 0 : 04, 08, 20, 40, 60 et 80. Donc il reste 16 (22-6) nombres de 2 chiffres différents qui ne comportent pas de 0 (tu peux t'amuser à les trouver : 12, 16, 24, ...). Le chiffre des centaines peut prendre alors 7 valeurs différentes (10-1 pour le 0 en 1ère position -2 pour les 2 derniers chiffres). Il y en a donc 16*7 à exclure.

[Elias]

Bonjour
Et si on posait la question de savoir combien il y a-t-il de nombres formés de 4 chiffres distincts??

On veut un nombre à 4 chiffres

Il y a 9 choix pour le premier chiffre (car 0 ne peut pas être en première position) :

Il y a ensuite 9 choix pour le second chiffre :

Puis 8 choix pour et 7 choix pour .

Ce qui donne au total .

Si ça peut aider, les voici tous d'ailleurs :

Code: Tout sélectionner

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2018
2019
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[wilfred1995]

On fait comment pour coder comme tu l'as fait